Введение
1. Численная идентификация правой части специального вида одномерного
параболического уравнения. Задача 1 6
1.1 Постановка задачи 6
1.2 Сведение обратной задачи к прямой задаче 7
1.3 Итерационный процесс 9
1.4 Разностная аппроксимация 10
1.5 Восстановление исходных функций 13
1.6 Результаты вычислений 16
2. Численная идентификация правой части специального вида одномерного
параболического уравнения. Задача 2 19
2.1 Постановка задачи 19
2.2 Сведение обратной задачи к прямой задаче 20
2.3 Итерационный процесс 23
2.4 Разностная аппроксимация 24
2.5 Восстановление исходных функций 28
2.6 Результаты вычислений 31
Заключение 34
Список использованных источников 35
Приложение 36
Приложение А Результаты вычислений первой функции. Тест 1 36
Приложение Б Результаты вычислений второй функции. Тест 2 38
Приложение В Результаты вычислений первой функции. Тест 1 40
Приложение Г Результаты вычислений второй функции. Тест 2 43
При обработке данных натурных экспериментов по дополнительным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему идентификации математической модели, например, определение коэффициентов дифференциального уравнения. Такие задачи мы относим к классу обратных задач математической физики.[3]
В математической физике под прямыми задачами обычно понимают задачи моделирования, где требуется найти функцию, описывающую физическое поле или процесс в каждой точке исследуемой области и в каждый момент времени (если поле нестационарное). Для решения прямой задачи задаются
1. область, в которой процесс изучается;
2. уравнение, описывающее данный процесс;
3. начальные условия (если процесс нестационарный);
4. условия на границе исследуемой области.
Под обратными задачами мы будем понимать задачи, в которых необходимо определить не только основные неизвестные, но и некоторые недостающие параметры задачи и (или) условия (некоторые компоненты математической модели).
Выделим коэффициентные обратные задачи, которые характеризуются тем, что коэффициенты уравнения или (и) правая часть неизвестны. В качестве примера рассмотрим параболическое уравнение
^‘■^CKx^ + fCxt), 0
Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению (1) и условиям
u(O,t)= p2(t),0
u(x, 0) = u0(x), 0 < x < I.
В прикладных проблемах часто свойства среды неизвестны, и их нужно определять. В нашем случае можно поставить задачу идентификации коэффициента . Характерной является задача для уравнения (1) по нахождению пары неизвестных. Основная особенность рассматриваемой обратной задачи состоит в нелинейности коэффициентной обратной задачи.[3]
Можно выделить как самостоятельную задачу определения неизвестной правой части параболического уравнения (1). Более частные постановки связаны, например, с выбором зависимости
Интерес может представлять неизвестная зависимость источника (правой части) от времени при известном распределении по пространству - в представлении (4) функции неизвестна, а функция задана.[3]
Для решения обратных задач необходима дополнительная информация (необходимо задавать так называемые условия переопределения).
Пусть, например, рассматривается обратная задача (1) - (4) по нахождению пары функций { }. Помимо решения краевой задачи
нужно найти зависимость от времени правой части. В этом случае дополнительная информация может иметь вид
u(x*, t) =
т.е. известно решение на каждый момент времени не только на границе, но и в некоторой внутренней точке расчетной области.
При рассмотрении обратных задач особое внимание должно уделяться проблемам единственности решения обратной задачи. Особенно это важно при рассмотрении нелинейных задач.[3]
Построению решений обратных коэффициентных задач посвящен ряд работ, смотри в частности[1, 3, 5, 6].
В данной бакалаврской работе численно решены две коэффициентные обратные задачи для одномерных уравнений параболического типа с правой частью специального вида. Разработан алгоритм численного решения поставленных обратных задач, создан программный продукт, проведены вычислительные эксперименты.
В бакалаврской работе получены следующие результаты:
1. Разработан и реализован алгоритм сведения поставленных обратных задач к прямым;
2. Предложен и реализован алгоритм численного решения полученных прямых задач;
3. Разработана программа в среде разработки Visual Studio 2010 на языке С++;
4. Проведены вычислительные эксперименты.
Результаты бакалаврской работы были доложены на международной студенческой научной конференции «Молодежь и наука: Проспект Свободный - 2016».
