Тема: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА ЛАГРАНЖЕВО-ЭЙЛЕРОВЫМ МЕТОДОМ

В настоящее время математическое моделирование является неотделимой частью в решении и изучении практических задач в различных областях. Оно получило широкое признание и стремительное развитие и это обусловлено невозможностью проведения натурных экспериментов из-за сложности реализации задачи, дороговизны, а в некоторых случаях из-за вреда окружающей среде. Математическая модель, которая описывает поведение исследуемой среды, обычно записывается через систему дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих законы сохранения или их следствия. И это накладывает на решение таких систем требование гладкости, которое предполагает, что в математической модели нет ударных волн. Однако при
высокоинтенсивных процессах в сплошных средах могут возникнуть зоны высоких скоростей, давлений, температур, что может привести к появлению ударных волн. Ударная волна – это поверхность разрыва, которая движется внутри среды, при этом давление, скорость, температура, плотность испытывают скачок, а также растет энтропия. Так как в дифференциальные уравнения без
15
учета теплопроводности и вязкости заложено условие — = 0, то в численном
методе должен присутствовать для возникших ударных волн механизм диссипации энергии на фронте ударной волны.
В работе [1] проведен сравнительный анализ наиболее распространенных методов расчета ударных волн. Известно всего четыре принципиально отличающихся друг от друга механизма диссипации энергии и в данной работе рассматриваются методы расчета ударных волн, использующие эти механизмы: метод Неймана-Рихтмайера, метод Лакса, метод Годунова, метод Куропатенко[2].
В методе Неймана-Рихтмайера идея заключается во введении в дифференциальные уравнения движения и энергии искусственной вязкости, которая обеспечивает диссипацию энергии и дистракцию сильного разрыва до величины, сравнимой с размером нескольких сеточных ячеек.
Идея, лежащая в основе метода Лакса, заключается в том, чтобы
диссипация энергии обеспечивалась главными членами погрешностей аппроксимации. А позже данный метод стали называть методом аппроксимационной вязкости.
Основная идея метода Годунова заключается в том, что на границах сеточных интервалов находятся произвольные разрывы, а механизмом
диссипации энергии является решение задачи о распаде произвольного разрыва, которую нужно решить последовательно для каждой области течения.
Метод В.Ф. Куропатенко [2] хорошо себя зарекомендовал для расчетов
сильных ударных волн. В этой книге описаны реализации метода Куропатенко
для одномерного течения идеальной сплошной среды в лагранжевых
координатах. Механизмом диссипации энергии в нем являются уравнения
Гюгонио. Основная идея метода заключается в том, что все сеточные функции в
интервалах внутри ударного слоя, считаются кусочно-постоянными. Таким образом, на границах сеточных интервалов находятся разрывы и трактуются как
сеточные ударные волны. С помощью уравнений Гюгонио можно вычислить все
величины за разрывом, а также скорость разрыва Ж = ^. Достоинствами
данного метода являются монотонность на ударной волне, постоянство энтропии
на непрерывных решениях, отсутствие эмпирических параметров.
В книге [3] подробно рассказывается о разностных схемах. В ней также представлены методы исследований аппроксимации, дистракции, монотонности, устойчивости. Об устойчивости численных методов более подробно написано в [4].
Существует большое количество моделей и численных методов (ЧМ) решения конкретных задач, которые могут быть реализованы в лагранжевых и эйлеровых координатах, а также их комбинацией.
В книге [5] описан модифицированный метод крупных частиц. Его идея состоит в том, чтобы исходную нестационарную систему уравнений Эйлера, которая записана в форме законов сохранения расщепить по физическим процессам. Расчет каждого временного шага, разбивается на 3 этапа:
1. На эйлеровом этапе потока массы через границы ячеек нет, учитываются только эффекты ускорения жидкости за счет давления. Определяются промежуточные значения искомых параметров потока – скорости и внутренняя энергия.
2. На лагранжевом этапе вычисляются потоки массы через границы эйлеровых ячеек.
3. На заключительном этапе, на новом временном слое, определяются конечные значения скоростей, внутренней энергии и плотности на основе законов сохранения на фиксированной расчетной сетке.
В работе [6] представлен метод моделирования идеальной сплошной среды в эйлеровых координатах, который использует метод Куропатенко для расчета ударных волн. Система уравнений законов сохранения записывается в эйлеровых координатах, а замыкается уравнением состояния (УРС) вещества. Решение системы производится в 4 этапа:
1. Определяются значения вспомогательных величин и*,Р*,р* на гранях ячеек в соответствии с дивергентным подходом метода Куропатенко [2].
2. Используя и* и р*, определяется плотность в ячейке на новом временном слое:
^-р + ^-р*и* = 0.
01 ох
3. На этом этапе рассматривается движение среды только за счет работы Р вдоль траектории. Поэтому конвективные слагаемые в уравнениях законов сохранения импульса и энергии принимаются равными нулю, что позволяет определить предварительные значения скорости и и энергии г в ячейках:
1ри + °-Р* = 0, дt ох °-рг + -1-Р*и* = 0. (П ох
4. Рассчитываются потоки импульса ] и энергии ^ через грани ячеек и
находятся окончательные значения параметров на новом временном слое:
J = püu*,
5 = pü*E, Ttpü + "^J = 0- Ot OX
+ = S¬
Ot OX
Давление на новом временном слое из УРС.
В работе представлены результаты тестирования численного метода с помощью задач Сода, о распаде произвольного разрыва и стационарной ударной волны, которые показали высокую точность моделирования ударно-волновых течений даже в случае сильной ударной волны.
В книге [7] в одномерной и двумерной постановках описан численный метод, в основе которого лежат две идеи. Первая идея основывается на том, что для построения разностной схемы используются точные решения уравнений с кусочно-постоянными начальными данными. Вторая идея состоит в том, чтобы использовать гибкие и двигающиеся, деформирующиеся разностные сетки, которые связаны с ударными волнами, контактными границами и другими подобными линиями, выделяющиеся при расчете изначально. Также эти сеточные ячейки не связаны с движущимися частицами вещества.
В неодномерных расчетах с использованием лагранжевых методов сетка может сильно искажается, что может привести к большим погрешностям расчета величин, неустойчивости решения или прекращению расчета. Во избежание таких ситуаций используются различные алгоритмы поддержки выпуклости ячеек или перестройка сетки. В работе [8] рассматривается перестройка сетки, которая делается на каждом временном шаге. В эйлеровом пространстве прослеживается движение системы лагранжевых точек (^kuHki) и на каждом шагу каждая точка окружается своей ячейкой – многоугольником Дирихле
Dki = («,H): « - Затем по каждой ячейке Ок1 записывается в конечно-разностной форме система законов сохранения.
В статье [9] описан алгоритм перестройки сетки, которая осуществляется во всей расчетной области. Пересчет всех параметров среды со старой сетки на новую сетку основан на применении законов сохранения массы и энергии, а для вычисления скоростей в узлах новой сетки используется закон сохранения импульса. Этот способ перестройки обеспечивает восстановление постоянной сетки во все расчетной области, не нарушая законов сохранения. Данный метод перестройки был реализован на практике и показал, что он обеспечивает выполнение законов сохранения с точностью не хуже 1% даже при решении задач, требующих выполнения нескольких десятков процедур перестройки.
На данный момент известны несколько численных реализаций двумерных лагранжево-эйлеровых методов. Один из них описан в статье [10], который основан на методе Неймана-Рихтмайера. В нем координаты и скорости относятся к узлам сетки, а давление, плотность, внутренняя энергия, сила сопротивления со стороны к-фазы и искусственная вязкость относятся к центрам ячеек. Все величины рассчитаются в момент времени tn, а скорости - на полушаге по времени ¿п+0.5. Используя формулу Грина, уравнения движения интегрируются по площадке, ограниченной линиями, которые проходят через середины общих сторон и отсекают от соседних с узлом ячеек четверть площади, причем давление и плотность остаются постоянными для каждой ячейки. Таким образом, получаются уравнения для определения скоростей с учетом компонент удельной силы межфазного взаимодействия. Выбор шага осуществляется исходя из условия устойчивости Куранта, где в качестве линейного масштаба расчетной ячейки выбирается наименьшая диагональ четырехугольника.
В работе [11] рассматриваются две явные лагранжево-эйлеровы разностные схемы в двумерной постановке для расчета обтекания тел сложной формы. Одна из них на косоугольном шаблоне, где скорости и координаты определяются в вершинах четырехугольных ячеек, а термодинамические величины как средние по
ячейке. Для каждой из ячеек определяются площадь, масса плоской фигуры, масса тела вращения и объем вращения ячейки вокруг оси Ох. Чтобы определить ускорения вершин ячеек скалярные уравнения движения интегрируют по контуру, проходящему через их центры, с применением теоремы о среднем. Затем находятся координаты вершин ячеек в момент £п+1 и вычисляются площадь, объем, средняя плотность и удельный объем. Далее рассчитываются компоненты девиатора тензора вязких напряжений и давление. На эйлеровом этапе происходит возвращение узлов разностной сетки в начальное положение, а затем производится пересчет величин с лагранжевой на эйлерову сетку. Данная разностная схема на косоугольном шаблоне была численно реализована, а следующая разностная схема нет.
Вторая разностная схема разработана для прямоугольного шаблона, механизмом диссипации энергии на ударных волнах являются уравнения Гюгонио в соответствии с идеологией метода Куропатенко. Все величины, которые описывают движение вещества и его состояние определяются в серединах прямоугольных ячеек. На лагранжевом этапе сначала рассчитываются вспомогательные величины скорости и давления в серединах ребер, для которых алгоритм расчета выбирается в зависимости от типа ячеек. К интервалам первого класса относятся ячейки, в которых происходит сжатие вещества, к интервалам второго класса – разрежение. Затем с помощью интерполяции находятся эти же величины в вершинах ячеек, которые используются для расчета основных величин. На эйлеровом этапе происходит перестройка сетки и расчет основных величин в ячейках новой сетки. Данная разностная схема на лагранжевом этапе обладает минимальной осцилляцией и дистракцией, обеспечивает на непрерывных решениях нулевую диссипацию энергии, использует физически обоснованный механизм диссипации энергии на ударной волне. Поэтому численная реализация лагранжево-эйлерового метода Куропатенко в двумерной постановке является актуальной задачей.
Цель работы – разработка вычислительного алгоритма, реализующего
двумерный лагранжево-эйлеров метод Куропатенко, для моделирования газодинамических течений в сплошной среде.
Задачи работы:
• Провести обзор литературы по теме исследования. Изучить численные методы для расчета ударно-волновых процессов в сплошных средах.
• Описать математическую модель и численный метод для расчета ударно-волновых процессов в лагранжевых переменных.
• Разработать алгоритм перестройки сетки.
• Разработать численный алгоритм, реализующий лагранжево-эйлеров метод Куропатенко в двумерной постановке.
• Провести верификацию вычислительного алгоритма.

Купить

В ходе выпускной квалификационной работы был изучен и реализован метод Куропатенко в двумерной постановке на прямоугольном шаблоне. Также был реализован метод перестройки сетки. Работоспособность численного кода была показана на ряде тестовых задач, имеющих аналитическое решение: задаче о распространении стационарной ударной волны, задаче Сода, задаче об отраженной ударной волне, задаче о распаде произвольного разрыва.
Сравнение аналитического и численного решения показало хорошую работоспособность разработанного кода: расхождение аналитического и численного решения минимально.
Также было проведено исследование сеточной сходимости и выбран оптимальный размер сетки.
Была проведена оценка погрешности округления при пересчёте термодинамических величин с лагранжевой сетки на эйлерову. Данная погрешность не превосходит одной десятой процента.

Купить