Помощь студентам в учебе
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
|
Список обозначений
Ввеение
1. Элементы теории уравнений соболевского типа
1.1. Уравнения с относительно ограниченными операторами.
1.2. Уравнения с относительно секториальными операторами
1.3. Уравнения Осколкова
2. Первая начально-краевая задача для нестационарных уравнений в магнитном поле Земли 30
2.1. Задача Коши для нестационарного полулинейного уравнения соболевского типа 30
2.2. Нестационарные уравнения движения жидкости в магнитном поле Земли 33
Заключение 40
Библиографический список| 41
Ввеение
1. Элементы теории уравнений соболевского типа
1.1. Уравнения с относительно ограниченными операторами.
1.2. Уравнения с относительно секториальными операторами
1.3. Уравнения Осколкова
2. Первая начально-краевая задача для нестационарных уравнений в магнитном поле Земли 30
2.1. Задача Коши для нестационарного полулинейного уравнения соболевского типа 30
2.2. Нестационарные уравнения движения жидкости в магнитном поле Земли 33
Заключение 40
Библиографический список| 41
Постановка задачи и цель работы. Система уравнений
(1 — {V2)vt= иV2v — (v • V)v + XPV2wi— ^Vp— Z! P
-2Q x v + -1(V x b) x b + f 1,
V •v = 0, V • b = 0, bt= bV2b + V x (v x b) + f2.
„ = v + awi, ai 2 R_, Pi 2 R+, l = 1, K, @t
описывает в магнитном поле Земли поток несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка K [39]. Здесь вектор-функции v = (vi(x, t),v2(x, t),..., vn(x, t))и b = (b1(x, t), b2(x, t),..., bn(x, t))характеризуют скорость жидкости и магнитную индукцию соответственно, p = p(x, t)- давление, н - коэффициент упругости, и - коэффициент вязкости, Q - угловая скорость, b- магнитная вязкость, р - магнитная проницаемость, р - плотность. Параметры pl, l = 1, K- определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободные члены f1= (f1,... , f1), f = f1(x,t),f2= f 2(x,t)характеризуют внешнее воздействие на жидкость.
Рассмотрим первую начально-краевую задачу для системы (0.0.1)
v(x,0) = v0(x), b(x, 0) = b0(x),
wi(x, 0) = wlo(x) x 2 D,
v(x, t) = 0, b(x, t) = 0,
wpx,t) = 0 (x,t) 2 @D x R+, l = 1, K
в предположении, что р =1 и р =1. Здесь DС Rn, n= 2, 3,4, - ограниченная область с границей @Dкласса C1.
Задачи, подобные задаче (0.0.1), (0.0.2), возникают, например, в магнитогидродинамике и геофизических науках [82]. Ранее в случае f1= 0, f2= 0 такие модели изучались в [22]. Заметим, что указанная система обобщает систему, приведенную в [74] при н =0, на неавтономный случай. А также является
обобщением соответствующей системы [22] в нестационарном случае
(1 — xV2)vt= vV2v — (v • V)v — 1 Vp — 2Q x v + (V x b) x b,
V- v = 0, V- b = 0, bt = 6V2b + Vx (v x b).
В [95]изучалась первая начально-краевая задача
v(x,0) = v0(x), b(x, 0) = b0(x), x 2 D,
v(x,t) = 0, b(x,t) = 0, (x,t) 2 @D x R+
для системы (0.0.3) в неавтономном случае.
В указанные задачи математической физики входят неклассические уравнения в частных производных, не разрешенные относительно производной по времени. Нелинейность и вырожденность таких моделей вызывает значительные трудности при их исследовании. Поэтому интерес к изучению подобного рода моделей постоянно возрастает. Задача (0.0.1), (0.0.2) в неавтономном случае рассматривается впервые.
Целью работы является исследование первой начально-краевой задачи (0.0.1), (0.0.2) на основе теории полулинейных неавтономных уравнений соболевского типа.
Методы исследования. Задача (0.0.1), (0.0.2) рассматривается как конкретная интерпретация задачи Коши
u(0) = u0
для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа
Здесь Uи F - банаховы пространства, оператор L 2 L(U; F),т.е. линеен и непрерывен kerL = {0}; оператор M: dom M ! Fлинеен, замкнут и плотно определен в U, т.е. M2 Cl(U; F), UM= {u2 dom M : ||u|| = ||MU||F + ||u||U}, а оператор F 2 C 1(UM; F). Вектор-функция f : R ! F.
Уравнение вида (0.0.6) часто называют уравнением соболевского типа [7, 40, 46, 79, 81, 90]. И это понятно, потому что впервые начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени, начал изучать С.Л. Соболев.
Основным методом исследования служит метод фазового пространства, со-держание которого составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа. В частности, мы используем теорию относительно р—секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов с ядрами, элементы теории дифференцируемых банаховых многообразий. Идея метода фазового пространства заключается в сведении неавтономного уравнения (0.0.6) к уравнению U= B(u)+g(t), заданному на так называемом расширенном фазовом пространстве этого уравнения, а не на всем пространстве.
В трудах великого французского математика А. Пуанкаре в конце девятнадцатого столетия впервые обращалось внимание на не разрешенные относительно старшей производной по времени уравнения [86]. Затем указанные уравнения появились в работах других ученых, занимавшихся исследованием важных гидродинамических задач. Сюда, например, можно отнести работы Буссинеска, Одквиста, и многих других.
С.Л. Соболев в 40-х годах прошлого века начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейного уравнения вида
LU = Mu
с возможно матричными дифференциальными операторами L и M в частных производных по "пространственным" переменным. В 1954 году им было получено уравнение
^■utt+ !2 uzz = О
моделирующее малые колебания вращающейся жидкости [66] и изучена задача Коши для него. Эта пионерская работа положила начало новому направлению "Уравнения соболевского типа," которое получило мощное развитие в последние несколько десятилетий.
Абстрактные линейные уравнения (0.0.7) в их интерпретации в виде уравнений в частных производных впервые начал изучать Р. Е. Шоуолтер[89, 88]. М.И. Вишик [6] рассмотрел задачу Коши и разработал численные методы её решения для уравнения (0.0.7).
Р. Е. Шоуолтер [88] и независимо от него Н.А. Сидоров со своими учениками [64, 65] первыми начали изучать абстрактные полулинейные уравнения вида (0.0.6) с различными вырождениями оператора Lи рассматривать приложения полученных абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.
Отметим большие заслуги воронежской математической школы, возглавляемой С.Г.Крейном, в исследовании разрешимости задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.0.7). В работах С.Г.Крейна [24] и его учеников впервые были отмечено, что задача (0.0.5), (0.0.7) однозначно разрешима не при всех начальных данных, лежащих в банаховом пространстве U, причем ее решение при всех t2 R также принадлежит подпространству, из которого берутся начальные данные.
Уравнения вида (0.0.6) и конкретные их интерпретации называют уравнениями соболевского типа [40, 47, 84, 89, 91]. Уравнения соболевского типа — это самостоятельная часть обширной области неклассических уравнений математической физики. На важность и необходимость создания общей теории разрешимости уравнений вида (0.0.6), (0.0.7) указывали И.Г. Петровский [43] и Ж.-Л. Лионс [27] в 60-70-е годы прошлого века.
К абстрактной задаче (0.0.5), (0.0.6) можно редуцировать начально-краевые задачи для уравнений, описывающих движение вязкоупргих жидкостей, "которые способны к релаксации напряжений при деформировании или проявляют феномен задержанного развития деформации после снятия напряжений "[42]. Уравнениям Осколкова в работе посвящен третий параграф второй главы, поскольку именно работы А.П.Осколкова послужили отправной точкой исследований автора.
В настоящее время уравнения соболевского типа переживают пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. Вышло много монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (0.0.6), (0.0.7).
В монографии Х. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [8] изучается задача Коши для псевдопараболического уравнения (0.0.6), содержащего равномерно липшиц-непрерывный оператор Вольтерра. Доказываются теоремы существования и единственности решения указанной задачи, устанавливается сходимость метода Галеркина.
В монографии Р.Е. Шоуолтера [88] изучаются уравнения (0.0.6), (0.0.7) в полугильбертовом пространстве с самосопряженным оператором L.
В монографии А. Фавини и А. Яги [80] излагается теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения xt2 A(x) с линейным многозначным оператором. Линейное уравнение соболевского типа (0.0.7) с (L, а) — ограниченным оператором Mв случае устранимой особой точки в бесконечности сводится к включению такого типа.
Монография Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова [3] посвящена изучению алгебро-дифференциальных неоднородных систем вида (0.0.6) с прямоугольной матрицей или матрицей L(t),вырожденной при всех t 2 [0, T] .
В монографии Г.Е. Демиденко и С.В. Успенского [11] с помощью построения последовательностей приближенных решений и получения их оценок в соответствующих нормах исследуется задача Коши и смешанная задача для уравнения
Lo(D,)D;x+ X Ll-к(Ds)Dt x = f (s,t)
k=0
c квазиэллиптическим оператором L0(Ds).
В монографии Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, А.В. Синицина и М.А. Фалалеева [87] изучаются приложения метода Ляпунова-Шмидта к задаче Коши для полулинейных уравнений. Установлено существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.0.6), причем неоднородность сильно измерима и интегрируема по Бохнеру, и оператор Fудовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Доказано существование w—периодического решения указанной задачи Коши для уравнения с замкнутыми плотно определенными операторами и w—периодической неоднородностью.
В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и С.В. Попова [13] исследована разрешимость краевой нелокальной задачи для неоднородного уравнения (0.0.7), где L,M- самосопряженные (или диссипативные) операторы, определенные в гильбертовом пространстве. Получен результат о существовании силь¬ решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (ортогональности) решение краевой задачи является гладким.
В монографии А.Г. Свешникова, А.Б. Альшина, М.О. Корпусова, Ю. Д. Плетнера [44] исследуются проблемы глобальной и локальной разрешимости широкого класса задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных, в том числе для псевдопараболических уравнений и уравнений соболевского типа.
Во всех рассмотренных монографиях отсутствует объяснение факта принципиальной неразрешимости задачи (0.0.5), (0.0.6) при произвольных начальных данных. Впервые данный факт был замечен в [78, 85] , затем он отмечался многими авторами. И одно из объяснений этого факта было представлено Г.А. Свиридюком и автором данной работы [47, 58] с точки зрения предложенного ими метода фазового пространства. Изучение начально-краевых задач для различных линейных и полулинейных уравнений соболевского типа сводится к изучению их фазовых пространств. Последовательное применение метода фазового пространства к изучению уравнений вида (0.0.7) позволило не только построить стройную теорию вырожденных (полу)групп операторов, но и разработать приложения этой теории к задачам устойчивости и задачам оптимального управления.
Первые итоги этих исследований подведены в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [91]. В эту работу вошли результаты Т.А. Бокаревой [1], Л.Л. Дудко [12], А.В. Келлер [20], В.Е. Федорова [72], А.А. Ефремова [14], Г.А. Кузнецова [25]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.В. Брычева [4], И.В. Бурлачко [5], и докторские диссертации Т.Г. Сукачевой [67], В.Е. Федорова [73], А.В. Келлер [21], С.А. Загребиной [15], А.А. Замышляевой [16], Н .А. Манаковой [28].
Изучение фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа начато Г.А. Свиридюком [53] в 1986 году для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинекса. Г.А. Свиридюком и М.М. Якуповым [61] было изучено фазовое пространство уравнения Осколкова
(1 - XV2)V2U = , V4^ - V+ g,
dt dx1, x2
и доказано, что фазовое пространство является простым банаховым C1многообразием. В диссертации М.М. Якупова [76] была установлена простота фазового пространства задачи Коши-Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека- Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Непосредственным продолжением [61] являются работы [57] и [59, 60].
В настоящее время теория относительно р—секториальных (а—ограниченных) операторов и соответствующих им полугрупп (групп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.0.7) совпадает с образом полугруппы (группы) разрешающих операторов. В существующем ныне обзоре [49], учебном пособии [51] и монографии [91] приведены известные к настоящему времени результаты теории а—ограниченных и р—секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.0.7).
Данная ВКР выполнена в рамках направления, возглавляемого профессором Г.А.Свиридюком. В ней получены необходимые и достаточные условия существования единственного решения для задач Коши-Дирихле нестационарных уравнений, описывающих движение несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка в магнитном поле Земли.
ВКР содержит введение, две главы и заключение. Во введении поставлена задача, обсуждаются методы исследования и результаты. В первой главе содержатся вспомогательные сведения. Первый параграф посвящен уравнениям с относительно ограниченным оператором, второй - с относительно секториальным оператором; третий содержит информацию об уравнениях Осколкова. Во второй главе представлены основные результаты. В первом параграфе исследуется абстрактная задача Коши для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа. Второй параграф посвящен исследованию задачи Коши- Дирихле для нестационарных уравнений соболевского типа в магнитогидродинамике. Заключение содержит выводы и перспективы возможных дальнейших исследований. Результаты ВКР опубликованы в работах [92] - [97].
(1 — {V2)vt= иV2v — (v • V)v + XPV2wi— ^Vp— Z! P
-2Q x v + -1(V x b) x b + f 1,
V •v = 0, V • b = 0, bt= bV2b + V x (v x b) + f2.
„ = v + awi, ai 2 R_, Pi 2 R+, l = 1, K, @t
описывает в магнитном поле Земли поток несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка K [39]. Здесь вектор-функции v = (vi(x, t),v2(x, t),..., vn(x, t))и b = (b1(x, t), b2(x, t),..., bn(x, t))характеризуют скорость жидкости и магнитную индукцию соответственно, p = p(x, t)- давление, н - коэффициент упругости, и - коэффициент вязкости, Q - угловая скорость, b- магнитная вязкость, р - магнитная проницаемость, р - плотность. Параметры pl, l = 1, K- определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободные члены f1= (f1,... , f1), f = f1(x,t),f2= f 2(x,t)характеризуют внешнее воздействие на жидкость.
Рассмотрим первую начально-краевую задачу для системы (0.0.1)
v(x,0) = v0(x), b(x, 0) = b0(x),
wi(x, 0) = wlo(x) x 2 D,
v(x, t) = 0, b(x, t) = 0,
wpx,t) = 0 (x,t) 2 @D x R+, l = 1, K
в предположении, что р =1 и р =1. Здесь DС Rn, n= 2, 3,4, - ограниченная область с границей @Dкласса C1.
Задачи, подобные задаче (0.0.1), (0.0.2), возникают, например, в магнитогидродинамике и геофизических науках [82]. Ранее в случае f1= 0, f2= 0 такие модели изучались в [22]. Заметим, что указанная система обобщает систему, приведенную в [74] при н =0, на неавтономный случай. А также является
обобщением соответствующей системы [22] в нестационарном случае
(1 — xV2)vt= vV2v — (v • V)v — 1 Vp — 2Q x v + (V x b) x b,
V- v = 0, V- b = 0, bt = 6V2b + Vx (v x b).
В [95]изучалась первая начально-краевая задача
v(x,0) = v0(x), b(x, 0) = b0(x), x 2 D,
v(x,t) = 0, b(x,t) = 0, (x,t) 2 @D x R+
для системы (0.0.3) в неавтономном случае.
В указанные задачи математической физики входят неклассические уравнения в частных производных, не разрешенные относительно производной по времени. Нелинейность и вырожденность таких моделей вызывает значительные трудности при их исследовании. Поэтому интерес к изучению подобного рода моделей постоянно возрастает. Задача (0.0.1), (0.0.2) в неавтономном случае рассматривается впервые.
Целью работы является исследование первой начально-краевой задачи (0.0.1), (0.0.2) на основе теории полулинейных неавтономных уравнений соболевского типа.
Методы исследования. Задача (0.0.1), (0.0.2) рассматривается как конкретная интерпретация задачи Коши
u(0) = u0
для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа
Здесь Uи F - банаховы пространства, оператор L 2 L(U; F),т.е. линеен и непрерывен kerL = {0}; оператор M: dom M ! Fлинеен, замкнут и плотно определен в U, т.е. M2 Cl(U; F), UM= {u2 dom M : ||u|| = ||MU||F + ||u||U}, а оператор F 2 C 1(UM; F). Вектор-функция f : R ! F.
Уравнение вида (0.0.6) часто называют уравнением соболевского типа [7, 40, 46, 79, 81, 90]. И это понятно, потому что впервые начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени, начал изучать С.Л. Соболев.
Основным методом исследования служит метод фазового пространства, со-держание которого составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа. В частности, мы используем теорию относительно р—секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов с ядрами, элементы теории дифференцируемых банаховых многообразий. Идея метода фазового пространства заключается в сведении неавтономного уравнения (0.0.6) к уравнению U= B(u)+g(t), заданному на так называемом расширенном фазовом пространстве этого уравнения, а не на всем пространстве.
В трудах великого французского математика А. Пуанкаре в конце девятнадцатого столетия впервые обращалось внимание на не разрешенные относительно старшей производной по времени уравнения [86]. Затем указанные уравнения появились в работах других ученых, занимавшихся исследованием важных гидродинамических задач. Сюда, например, можно отнести работы Буссинеска, Одквиста, и многих других.
С.Л. Соболев в 40-х годах прошлого века начал систематическое изучение начально-краевых задач для линейного уравнения вида
LU = Mu
с возможно матричными дифференциальными операторами L и M в частных производных по "пространственным" переменным. В 1954 году им было получено уравнение
^■utt+ !2 uzz = О
моделирующее малые колебания вращающейся жидкости [66] и изучена задача Коши для него. Эта пионерская работа положила начало новому направлению "Уравнения соболевского типа," которое получило мощное развитие в последние несколько десятилетий.
Абстрактные линейные уравнения (0.0.7) в их интерпретации в виде уравнений в частных производных впервые начал изучать Р. Е. Шоуолтер[89, 88]. М.И. Вишик [6] рассмотрел задачу Коши и разработал численные методы её решения для уравнения (0.0.7).
Р. Е. Шоуолтер [88] и независимо от него Н.А. Сидоров со своими учениками [64, 65] первыми начали изучать абстрактные полулинейные уравнения вида (0.0.6) с различными вырождениями оператора Lи рассматривать приложения полученных абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.
Отметим большие заслуги воронежской математической школы, возглавляемой С.Г.Крейном, в исследовании разрешимости задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.0.7). В работах С.Г.Крейна [24] и его учеников впервые были отмечено, что задача (0.0.5), (0.0.7) однозначно разрешима не при всех начальных данных, лежащих в банаховом пространстве U, причем ее решение при всех t2 R также принадлежит подпространству, из которого берутся начальные данные.
Уравнения вида (0.0.6) и конкретные их интерпретации называют уравнениями соболевского типа [40, 47, 84, 89, 91]. Уравнения соболевского типа — это самостоятельная часть обширной области неклассических уравнений математической физики. На важность и необходимость создания общей теории разрешимости уравнений вида (0.0.6), (0.0.7) указывали И.Г. Петровский [43] и Ж.-Л. Лионс [27] в 60-70-е годы прошлого века.
К абстрактной задаче (0.0.5), (0.0.6) можно редуцировать начально-краевые задачи для уравнений, описывающих движение вязкоупргих жидкостей, "которые способны к релаксации напряжений при деформировании или проявляют феномен задержанного развития деформации после снятия напряжений "[42]. Уравнениям Осколкова в работе посвящен третий параграф второй главы, поскольку именно работы А.П.Осколкова послужили отправной точкой исследований автора.
В настоящее время уравнения соболевского типа переживают пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. Вышло много монографий, целиком или частично посвященных уравнениям (0.0.6), (0.0.7).
В монографии Х. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [8] изучается задача Коши для псевдопараболического уравнения (0.0.6), содержащего равномерно липшиц-непрерывный оператор Вольтерра. Доказываются теоремы существования и единственности решения указанной задачи, устанавливается сходимость метода Галеркина.
В монографии Р.Е. Шоуолтера [88] изучаются уравнения (0.0.6), (0.0.7) в полугильбертовом пространстве с самосопряженным оператором L.
В монографии А. Фавини и А. Яги [80] излагается теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения xt2 A(x) с линейным многозначным оператором. Линейное уравнение соболевского типа (0.0.7) с (L, а) — ограниченным оператором Mв случае устранимой особой точки в бесконечности сводится к включению такого типа.
Монография Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова [3] посвящена изучению алгебро-дифференциальных неоднородных систем вида (0.0.6) с прямоугольной матрицей или матрицей L(t),вырожденной при всех t 2 [0, T] .
В монографии Г.Е. Демиденко и С.В. Успенского [11] с помощью построения последовательностей приближенных решений и получения их оценок в соответствующих нормах исследуется задача Коши и смешанная задача для уравнения
Lo(D,)D;x+ X Ll-к(Ds)Dt x = f (s,t)
k=0
c квазиэллиптическим оператором L0(Ds).
В монографии Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, А.В. Синицина и М.А. Фалалеева [87] изучаются приложения метода Ляпунова-Шмидта к задаче Коши для полулинейных уравнений. Установлено существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.0.6), причем неоднородность сильно измерима и интегрируема по Бохнеру, и оператор Fудовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Доказано существование w—периодического решения указанной задачи Коши для уравнения с замкнутыми плотно определенными операторами и w—периодической неоднородностью.
В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и С.В. Попова [13] исследована разрешимость краевой нелокальной задачи для неоднородного уравнения (0.0.7), где L,M- самосопряженные (или диссипативные) операторы, определенные в гильбертовом пространстве. Получен результат о существовании силь¬ решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (ортогональности) решение краевой задачи является гладким.
В монографии А.Г. Свешникова, А.Б. Альшина, М.О. Корпусова, Ю. Д. Плетнера [44] исследуются проблемы глобальной и локальной разрешимости широкого класса задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных, в том числе для псевдопараболических уравнений и уравнений соболевского типа.
Во всех рассмотренных монографиях отсутствует объяснение факта принципиальной неразрешимости задачи (0.0.5), (0.0.6) при произвольных начальных данных. Впервые данный факт был замечен в [78, 85] , затем он отмечался многими авторами. И одно из объяснений этого факта было представлено Г.А. Свиридюком и автором данной работы [47, 58] с точки зрения предложенного ими метода фазового пространства. Изучение начально-краевых задач для различных линейных и полулинейных уравнений соболевского типа сводится к изучению их фазовых пространств. Последовательное применение метода фазового пространства к изучению уравнений вида (0.0.7) позволило не только построить стройную теорию вырожденных (полу)групп операторов, но и разработать приложения этой теории к задачам устойчивости и задачам оптимального управления.
Первые итоги этих исследований подведены в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [91]. В эту работу вошли результаты Т.А. Бокаревой [1], Л.Л. Дудко [12], А.В. Келлер [20], В.Е. Федорова [72], А.А. Ефремова [14], Г.А. Кузнецова [25]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.В. Брычева [4], И.В. Бурлачко [5], и докторские диссертации Т.Г. Сукачевой [67], В.Е. Федорова [73], А.В. Келлер [21], С.А. Загребиной [15], А.А. Замышляевой [16], Н .А. Манаковой [28].
Изучение фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа начато Г.А. Свиридюком [53] в 1986 году для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинекса. Г.А. Свиридюком и М.М. Якуповым [61] было изучено фазовое пространство уравнения Осколкова
(1 - XV2)V2U = , V4^ - V+ g,
dt dx1, x2
и доказано, что фазовое пространство является простым банаховым C1многообразием. В диссертации М.М. Якупова [76] была установлена простота фазового пространства задачи Коши-Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека- Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Непосредственным продолжением [61] являются работы [57] и [59, 60].
В настоящее время теория относительно р—секториальных (а—ограниченных) операторов и соответствующих им полугрупп (групп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.0.7) совпадает с образом полугруппы (группы) разрешающих операторов. В существующем ныне обзоре [49], учебном пособии [51] и монографии [91] приведены известные к настоящему времени результаты теории а—ограниченных и р—секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.0.7).
Данная ВКР выполнена в рамках направления, возглавляемого профессором Г.А.Свиридюком. В ней получены необходимые и достаточные условия существования единственного решения для задач Коши-Дирихле нестационарных уравнений, описывающих движение несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка в магнитном поле Земли.
ВКР содержит введение, две главы и заключение. Во введении поставлена задача, обсуждаются методы исследования и результаты. В первой главе содержатся вспомогательные сведения. Первый параграф посвящен уравнениям с относительно ограниченным оператором, второй - с относительно секториальным оператором; третий содержит информацию об уравнениях Осколкова. Во второй главе представлены основные результаты. В первом параграфе исследуется абстрактная задача Коши для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа. Второй параграф посвящен исследованию задачи Коши- Дирихле для нестационарных уравнений соболевского типа в магнитогидродинамике. Заключение содержит выводы и перспективы возможных дальнейших исследований. Результаты ВКР опубликованы в работах [92] - [97].
Итак, на основе метода фазового пространства в работе исследованы начально-краевые задачи для нестационарных уравнений соболевского типа, возникающие в геофизике и магнитогидродинамике. В рамках теории полулинейных неавтономных уравнений соболевского типа доказана теорема о существовании и единственности решения, которое является квазистационарной полутраекторией, а также дано описание расширенного фазового пространства. Полученные результаты обобщают соответствующие результаты [22] на неавтономный случай. Они могут быть применены при рассмотрении обратных задач, задач оптимального управления, начально-конечных и многоточечных задач, а также при рассмотрении стохастических уравнений. Также полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений геофизики и магнитогидродинамики.