Помощь студентам в учебе
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПОРОЖДЕННЫХ, ДИСКРЕТНЫМИ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ С БОЛЬШИМИ НОМЕРАМИ
|
Введение 3
1 Предварительные сведения 6
1.1 Предварительные сведения из теории операторов 6
1.2 Вычисление собственных значений дискретных полуограниченных операторов методом регуляризованных следов 8
1.3 Вычисление собственных значений дискретных полуограниченных операторов модифицированным методом Галеркина 9
2 Асимптотические формулы для собственных значений спектральных задач 13
2.1 Асимптотические формулы собственных значений двухчленного оператора
Штурма - Лиувилля четного порядка 13
2.2 Известные асимптотические формулы для собственных значений двух спектральных задач 16
2.3 Алгоритм вычисления собственных значений дискретных полуограниченных
операторов модифицированным методом Галеркина 21
3 Вычислительные эксперименты 23
3.1 Вычисление собственных значений двухчленного оператора
Штурма - Лиувилля четного порядка 24
3.2 Вычисление собственных значений для двух известных спектральных задач 25
Заключение 27
Приложения 28
Список литературы 35
1 Предварительные сведения 6
1.1 Предварительные сведения из теории операторов 6
1.2 Вычисление собственных значений дискретных полуограниченных операторов методом регуляризованных следов 8
1.3 Вычисление собственных значений дискретных полуограниченных операторов модифицированным методом Галеркина 9
2 Асимптотические формулы для собственных значений спектральных задач 13
2.1 Асимптотические формулы собственных значений двухчленного оператора
Штурма - Лиувилля четного порядка 13
2.2 Известные асимптотические формулы для собственных значений двух спектральных задач 16
2.3 Алгоритм вычисления собственных значений дискретных полуограниченных
операторов модифицированным методом Галеркина 21
3 Вычислительные эксперименты 23
3.1 Вычисление собственных значений двухчленного оператора
Штурма - Лиувилля четного порядка 24
3.2 Вычисление собственных значений для двух известных спектральных задач 25
Заключение 27
Приложения 28
Список литературы 35
Современные методы вычисления собственных значений линейных дифференциальных и интегральных операторов построены на сведении задач к дискретным моделям, использующим в основном, метод сеток или проекционные методы. В результате задачи сводятся к нахождению спектральных характеристик систем линейных алгебраических уравнений. Применение традиционных методов решения требует весьма значительного объема вычислений, ввиду плохой разделенности собственных значений матриц, полученных из соответствующих систем уравнений. Несмотря на простоту формулировок, для решения задач, встречающихся в приложениях, нельзя предложить единого алгоритма вычисления. Выбор алгоритма вычисления собственных значений матриц обусловлен видом матриц. Надо отметить, что задача нахождения всех точек спектров для матриц высокого порядка еще не имеет удовлетворительного численного решения.
Разработка новых численных методов нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов, не использующих процесс сведение задачи к нахождению собственных значений соответствующих матриц, представляет большой научный интерес и значительно расширяет возможности решения прямых и обратных спектральных задач, порожденных этими операторами.
На основе идей, изложенных в статье В.А. Садовничева и В.В. Дубровского [1], и теории регуляризованных следов был разработан новый неитерационный метод вычисления первых собственных значений дискретного полуограниченного оператора [2]. Основу метода составляет нелинейная система уравнений, корнями которой являются собственные значения оператора. Для ее составления надо знать поправки теории возмущения, численный метод вычисления которых был разработан в статьях [3], [4]. Для вычисления поправок теории возмущений надо находить суммы кратных числовых рядов, что вызывает большие вычислительных трудности. Для ухода от этих проблем, используя системы нелинейных уравнений, были получены линейные формулы, позволяющие вычислять приближенные
собственные значения /п операторов T+ P.
/п = Хп + (Pvn, Vn) + iSi(n), n = 1; mQ.
Здесь T - самосопряженный оператор, a P - ограниченный оператор действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H; Хп - собственные значения, а vn- соответствующие им собственные функции оператора T, которые занумерованы в порядке возрастания П0
их величины с учетом кратности; m0 Yk- ук; n0- количество всех неравных собственных
к=1
значений /п, которые лежат внутри окружности T п0 радиуса рп0 = с центром в
начале координат комплексной плоскости. Очень часто система функций {^п}п=1является базисом H. Уравнения (0.1) выполняются при условиях
21PII
5п = ,, 11 ■< 1; 8п 2 N,
1 Хп+^„ Хп1
где ип - кратность собственного значения Хп. Для чисел ei(n) выполняются оценки
м . /Л q2
lei(n)| <(2n - 1)рад- , q =maxq,n.
1 — q "2N
Требование (0.2) на норму возмущающего оператора P резко уменьшает количество спектральных задач, для нахождения собственных значений которых можно использовать формулы (0.1). Анализ применения метода Галеркина к вычислению собственных значений оператора T + P, показал, что ограничение на норму (0.2) оператора P можно снять.
В [5] показано, что если L- дискретный полуограниченный снизу оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H , и система координатных функций {'k}k=i является базисом H, то приближенные значения /п оператора L находятся по формулам
п—1
/п(n) = (L'n, 'п) + ^п, еп = y^[/7k(n - 1) - /к(n)]. (0.3)
k=1
В случае нахождения собственных значений дифференциального оператора L, система функций {'к}к=1 должна удовлетворять граничным условиям соответствующей спектральной задачи.
Если дискретный полуограниченный оператор Lможно представить в виде L = T+ Р, где T - самосопряженный оператор, то формулы (0.3) можно записать в виде
Щп) = An + (Pv„,vn) + i„
Здесь An- собственные значения, а vn- собственные функции оператора T.
Нетрудно показать, что если ||Р|| < 0, 5|An+^n— An|, то формулы (0.1) и (0.4) совпадают.
Применение линейных формул (0.4) для вычисления собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов имеет ряд преимуществ перед классическими методами. Во-первых, не надо сводить задачи к дискретным моделям. Во-вторых, простота вычислительного процесса и возможность вычисления собственных значений с необходимым порядковым номером независимо от того, известны ли собственные значения с меньшими номерами или нет. В-третьих, решается задача нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов с любыми порядковыми номерами.
Рассмотренные примеры вычисления собственных значений дифференциальных операторов с небольшими порядковыми номерами показали, что найденные по формулам (0.4) значения хорошо согласуются со значениями, найденными методом Галеркина.
Цель работы показать, что собственные значения с любыми порядковыми номерами спектральных задач можно вычислять по формулам (0.4). Разработать алгоритм позволяющий получить формулы для вычисления собственных чисел с любыми порядковыми номерами.
Разработка новых численных методов нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов, не использующих процесс сведение задачи к нахождению собственных значений соответствующих матриц, представляет большой научный интерес и значительно расширяет возможности решения прямых и обратных спектральных задач, порожденных этими операторами.
На основе идей, изложенных в статье В.А. Садовничева и В.В. Дубровского [1], и теории регуляризованных следов был разработан новый неитерационный метод вычисления первых собственных значений дискретного полуограниченного оператора [2]. Основу метода составляет нелинейная система уравнений, корнями которой являются собственные значения оператора. Для ее составления надо знать поправки теории возмущения, численный метод вычисления которых был разработан в статьях [3], [4]. Для вычисления поправок теории возмущений надо находить суммы кратных числовых рядов, что вызывает большие вычислительных трудности. Для ухода от этих проблем, используя системы нелинейных уравнений, были получены линейные формулы, позволяющие вычислять приближенные
собственные значения /п операторов T+ P.
/п = Хп + (Pvn, Vn) + iSi(n), n = 1; mQ.
Здесь T - самосопряженный оператор, a P - ограниченный оператор действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H; Хп - собственные значения, а vn- соответствующие им собственные функции оператора T, которые занумерованы в порядке возрастания П0
их величины с учетом кратности; m0 Yk- ук; n0- количество всех неравных собственных
к=1
значений /п, которые лежат внутри окружности T п0 радиуса рп0 = с центром в
начале координат комплексной плоскости. Очень часто система функций {^п}п=1является базисом H. Уравнения (0.1) выполняются при условиях
21PII
5п = ,, 11 ■< 1; 8п 2 N,
1 Хп+^„ Хп1
где ип - кратность собственного значения Хп. Для чисел ei(n) выполняются оценки
м . /Л q2
lei(n)| <(2n - 1)рад- , q =maxq,n.
1 — q "2N
Требование (0.2) на норму возмущающего оператора P резко уменьшает количество спектральных задач, для нахождения собственных значений которых можно использовать формулы (0.1). Анализ применения метода Галеркина к вычислению собственных значений оператора T + P, показал, что ограничение на норму (0.2) оператора P можно снять.
В [5] показано, что если L- дискретный полуограниченный снизу оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H , и система координатных функций {'k}k=i является базисом H, то приближенные значения /п оператора L находятся по формулам
п—1
/п(n) = (L'n, 'п) + ^п, еп = y^[/7k(n - 1) - /к(n)]. (0.3)
k=1
В случае нахождения собственных значений дифференциального оператора L, система функций {'к}к=1 должна удовлетворять граничным условиям соответствующей спектральной задачи.
Если дискретный полуограниченный оператор Lможно представить в виде L = T+ Р, где T - самосопряженный оператор, то формулы (0.3) можно записать в виде
Щп) = An + (Pv„,vn) + i„
Здесь An- собственные значения, а vn- собственные функции оператора T.
Нетрудно показать, что если ||Р|| < 0, 5|An+^n— An|, то формулы (0.1) и (0.4) совпадают.
Применение линейных формул (0.4) для вычисления собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов имеет ряд преимуществ перед классическими методами. Во-первых, не надо сводить задачи к дискретным моделям. Во-вторых, простота вычислительного процесса и возможность вычисления собственных значений с необходимым порядковым номером независимо от того, известны ли собственные значения с меньшими номерами или нет. В-третьих, решается задача нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов с любыми порядковыми номерами.
Рассмотренные примеры вычисления собственных значений дифференциальных операторов с небольшими порядковыми номерами показали, что найденные по формулам (0.4) значения хорошо согласуются со значениями, найденными методом Галеркина.
Цель работы показать, что собственные значения с любыми порядковыми номерами спектральных задач можно вычислять по формулам (0.4). Разработать алгоритм позволяющий получить формулы для вычисления собственных чисел с любыми порядковыми номерами.
В работе получены следующие результаты:
• исследована возможность использования полученных в статьях С.И. Кадченко линейных формул (1.3.6) для нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов с большими номерами. Сравнения собственных значений, найденных по линейным формулам (1.3.6) и по известным асимптотическим формулам, рассмотренных спектральных задач показали, что они практически совпадают;
• на основе полученных ранее линейных формул (1.3.6) для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных операторов, разработаны алгоритмы получения формул для вычисления собственных значений, аналогичных асимптотическим и отличающих от них только порядком погрешностей;
• в среде математического пакета Maple написаны пакеты программ, позволяющие про-водить вычислительные эксперименты по вычислению собственных значений спек-тральных задач, порожденных дискретными полуограниченными операторами.
• исследована возможность использования полученных в статьях С.И. Кадченко линейных формул (1.3.6) для нахождения собственных значений дискретных полуограниченных операторов с большими номерами. Сравнения собственных значений, найденных по линейным формулам (1.3.6) и по известным асимптотическим формулам, рассмотренных спектральных задач показали, что они практически совпадают;
• на основе полученных ранее линейных формул (1.3.6) для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных операторов, разработаны алгоритмы получения формул для вычисления собственных значений, аналогичных асимптотическим и отличающих от них только порядком погрешностей;
• в среде математического пакета Maple написаны пакеты программ, позволяющие про-водить вычислительные эксперименты по вычислению собственных значений спек-тральных задач, порожденных дискретными полуограниченными операторами.