Помощь студентам в учебе
Алгоритмы минимаксной и калмановской фильтрации в задаче оценивания вектора состояния линейной динамической системы для единственной реализации измерений
|
ВВЕДЕНИЕ 4
1 АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
1.1 Методы оценивания состояния динамических систем в условиях
неопределенности 6
1.2 Основные варианты описания неопределенностей в теории
гарантированного оценивания 11
1.3 Методы адаптивного оценивания 15
1.4 Постановка задачи и цели исследования 17
2 РАЗРАБОТКА АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ
2.1 Обновляемая последовательность в алгоритме гарантированного
оценивания 21
2.2 Описание ошибок измерений с помощью формирующих фильтров .... 27
3 РЕАЛИЗАЦИЯ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ
3.1 Построение формирующего фильтра в алгоритме минимаксной
фильтрации 35
3.2 Оценивание величины сопротивления постоянному току обмоток
трансформаторов 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 48
1 АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
1.1 Методы оценивания состояния динамических систем в условиях
неопределенности 6
1.2 Основные варианты описания неопределенностей в теории
гарантированного оценивания 11
1.3 Методы адаптивного оценивания 15
1.4 Постановка задачи и цели исследования 17
2 РАЗРАБОТКА АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ
2.1 Обновляемая последовательность в алгоритме гарантированного
оценивания 21
2.2 Описание ошибок измерений с помощью формирующих фильтров .... 27
3 РЕАЛИЗАЦИЯ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ
3.1 Построение формирующего фильтра в алгоритме минимаксной
фильтрации 35
3.2 Оценивание величины сопротивления постоянному току обмоток
трансформаторов 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 48
Традиционный подход к построению систем управления динамическими объектами заключается в последовательном решении двух задач - задачи оценивания и задачи синтеза управления, при этом точность решения задачи оценивания существенно зависит от адекватности математической модели динамики объекта и реальных измерительных процессов. Проблеме оценивания и управления в условиях неопределенности посвящены работы И.Я. Каца, А.Б. Куржанского, В.М. Кунцевича, Н.Н. Красовского, В.М. Кейна, Ф.Л. Черноусько, а также Б.И. Ананьева, С.И. Кумкова, М.Л. Лычака, А.И. Матасова, А.И. Овсеевича, Г.А. Тимофеевой, Н.Б. Филимонова, В.И. Ширяева, А.Ф. Шорикова, T. Alamo, D.P. Bertsekas, F. Blanchini и др.
В зависимости от принятых допущений по отношению к априорной информации о возмущениях, действующих на объект, и ошибках измерений в информационно-измерительном канале задача оценивания решается либо в стохастической постановке [17, 24, 25, 67, 74, 75], либо в гарантированной [3, 5, 14, 28, 43, 50, 52, 85, 86, 95-98, 107, 108].
В настоящее время широко распространен ставший классическим стохастический подход, при котором известными считаются статистические характеристики случайных факторов - ошибки в задании априорной информации о начальном со-стоянии объекта, внешние возмущения, помехи в измерениях. Если возмущения и ошибки измерений предполагаются взаимно некоррелированными белыми гауссовскими шумами с известными ковариационными матрицами, то для решения задачи оценивания используют фильтр Калмана (ФК). ФК обеспечивает простой, с точки зрения требуемых вычислительных ресурсов, способ расчета оптимальной в среднестатистическом смысле оценки вектора состояния (по совокупности всех реализаций измерений). Однако эффективность применения ФК существенно за-висит от точности заданных ковариационных матриц возмущений и ошибок измерений. Поэтому в условиях, когда доступно малое число наблюдений, информация об этих матрицах может отсутствовать или быть неточной, и применение ФК в этом случае может быть необоснованным [9, 27].
При гарантированном или минимаксном подходе [5, 8, 12, 13, 37, 38, 43, 47, 91, 95, 96, 98, 107, 108] к решению задачи оценивания в условиях неопределенности статистические характеристики, как правило, считаются неизвестными и задаются лишь множественные оценки возможных значений возмущений, ошибок измерений и ошибок в задании информации о начальном состоянии объекта. При этом решение задачи выбирается из условия оптимизации множественных оценок, со-ответствующих наихудшей реализации значений возмущений, ошибок измерений, используя «принцип гарантированного результата». В работах [28, 29, 76, 77] рассматривается задача минимаксной линейной фильтрации для стохастической разностной системы.
Несмотря на возрастающий с середины прошлого столетия интерес к задачам оценивания и управления в теоретико-множественной постановке [3, 11, 22, 23, 30, 37, 38, 52, 95, 96], к настоящему времени данный подход не получил широкого распространения [4, 48, 49, 63, 84, 94]. Наверное, потому, что, в частности, как отмечалось Богуславским И.А. [15], гарантированный подход, с одной стороны, может приводить к слишком пессимистичным оценкам, а с другой стороны, реализация алгоритмов гарантированного оценивания в реальном времени требует больших вычислительных ресурсов в связи с выполнением операций над множествами [83, 94, 98]. Следовательно, актуальной становится задача построения алгоритмов гарантированного оценивая вектора состояния динамических систем, обладающих свойством адаптивности для распознавания ситуаций, когда возмущения, действующие на объект, и ошибки измерений в канале наблюдения реализуются не наихудшим образом, т.е. среда, в которой функционирует объект, ведет себя не так агрессивно, как это заложено в априорных данных о допустимых множествах значений неконтролируемых факторов.
Вопрос о синтезе адаптивных фильтров, способных обеспечить достаточно точную оценку вектора состояния в отсутствии точной априорной информации о возмущениях и ошибках измерений, является одним из центральных в современной теории оценивания [9, 10, 31, 32, 35, 39, 56, 61, 84, 110, 111]. Повысить точность решения задачи фильтрации можно путем восстановления математической модели и оценки неизвестных параметров, определяющих свойства возмущений и помех в канале наблюдения [89].
Целью данной работы является разработка алгоритмов адаптивного гарантированного оценивания состояния линейных динамических систем.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) определить условия, при которых возможна адаптация алгоритма гарантированного оценивания;
2) разработать алгоритм гарантированного оценивания, обладающий свойством адаптивности к помехам в информационно-измерительной системе;
3) разработать алгоритм оценки неизвестных параметров, определяющих динамику помех в информационно-измерительной системе;
4) показать эффективность применения разработанных алгоритмов на примере математических моделей различных динамических систем.
В зависимости от принятых допущений по отношению к априорной информации о возмущениях, действующих на объект, и ошибках измерений в информационно-измерительном канале задача оценивания решается либо в стохастической постановке [17, 24, 25, 67, 74, 75], либо в гарантированной [3, 5, 14, 28, 43, 50, 52, 85, 86, 95-98, 107, 108].
В настоящее время широко распространен ставший классическим стохастический подход, при котором известными считаются статистические характеристики случайных факторов - ошибки в задании априорной информации о начальном со-стоянии объекта, внешние возмущения, помехи в измерениях. Если возмущения и ошибки измерений предполагаются взаимно некоррелированными белыми гауссовскими шумами с известными ковариационными матрицами, то для решения задачи оценивания используют фильтр Калмана (ФК). ФК обеспечивает простой, с точки зрения требуемых вычислительных ресурсов, способ расчета оптимальной в среднестатистическом смысле оценки вектора состояния (по совокупности всех реализаций измерений). Однако эффективность применения ФК существенно за-висит от точности заданных ковариационных матриц возмущений и ошибок измерений. Поэтому в условиях, когда доступно малое число наблюдений, информация об этих матрицах может отсутствовать или быть неточной, и применение ФК в этом случае может быть необоснованным [9, 27].
При гарантированном или минимаксном подходе [5, 8, 12, 13, 37, 38, 43, 47, 91, 95, 96, 98, 107, 108] к решению задачи оценивания в условиях неопределенности статистические характеристики, как правило, считаются неизвестными и задаются лишь множественные оценки возможных значений возмущений, ошибок измерений и ошибок в задании информации о начальном состоянии объекта. При этом решение задачи выбирается из условия оптимизации множественных оценок, со-ответствующих наихудшей реализации значений возмущений, ошибок измерений, используя «принцип гарантированного результата». В работах [28, 29, 76, 77] рассматривается задача минимаксной линейной фильтрации для стохастической разностной системы.
Несмотря на возрастающий с середины прошлого столетия интерес к задачам оценивания и управления в теоретико-множественной постановке [3, 11, 22, 23, 30, 37, 38, 52, 95, 96], к настоящему времени данный подход не получил широкого распространения [4, 48, 49, 63, 84, 94]. Наверное, потому, что, в частности, как отмечалось Богуславским И.А. [15], гарантированный подход, с одной стороны, может приводить к слишком пессимистичным оценкам, а с другой стороны, реализация алгоритмов гарантированного оценивания в реальном времени требует больших вычислительных ресурсов в связи с выполнением операций над множествами [83, 94, 98]. Следовательно, актуальной становится задача построения алгоритмов гарантированного оценивая вектора состояния динамических систем, обладающих свойством адаптивности для распознавания ситуаций, когда возмущения, действующие на объект, и ошибки измерений в канале наблюдения реализуются не наихудшим образом, т.е. среда, в которой функционирует объект, ведет себя не так агрессивно, как это заложено в априорных данных о допустимых множествах значений неконтролируемых факторов.
Вопрос о синтезе адаптивных фильтров, способных обеспечить достаточно точную оценку вектора состояния в отсутствии точной априорной информации о возмущениях и ошибках измерений, является одним из центральных в современной теории оценивания [9, 10, 31, 32, 35, 39, 56, 61, 84, 110, 111]. Повысить точность решения задачи фильтрации можно путем восстановления математической модели и оценки неизвестных параметров, определяющих свойства возмущений и помех в канале наблюдения [89].
Целью данной работы является разработка алгоритмов адаптивного гарантированного оценивания состояния линейных динамических систем.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) определить условия, при которых возможна адаптация алгоритма гарантированного оценивания;
2) разработать алгоритм гарантированного оценивания, обладающий свойством адаптивности к помехам в информационно-измерительной системе;
3) разработать алгоритм оценки неизвестных параметров, определяющих динамику помех в информационно-измерительной системе;
4) показать эффективность применения разработанных алгоритмов на примере математических моделей различных динамических систем.
Работа посвящена задаче адаптивного гарантированного оценивания состояния линейных динамических систем в условиях неопределенности.
Определены условия, в которых возможна адаптация алгоритма гарантированного оценивания к ошибкам измерений.
Предложен подход к построению адаптивного алгоритма гарантированного оценивания, который заключается в описании ошибок измерений с помощью формирующих фильтров. Предложен гарантированный подход к оценке параметров фильтра. При таком подходе осуществляется апостериорное информационное доопределение неизвестных помех, математическая модель которых используется в уравнениях гарантированного алгоритма с целью повышения точности решения задачи фильтрации. Предполагается, что математическая модель, оценка параметров которой осуществляется по результатам Nнаблюдений, достаточно точно описывает динамику неизвестных помех на рассматриваемом интервале. При поступлении следующего измерения ширина интервала, используемого для оценивания параметров модели, регулируется. После обработки (N+1) -го измерения ширина интервала наблюдений, используемого для оценивания параметров модели, регулируется, т.е. можно расширить интервал на это измерение или сохранить его ширину N, откинув первое измерение. В последнем случае осуществляется итеративное линейное оценивание параметров стохастической составляющей ряда с шириной «скользящего» интервала наблюдений.
Предложен подход к построению адаптивного алгоритма гарантированного оценивания, который заключается в статистической обработке априорных и апостериорных невязок измерений и ошибок оценивания.
Приведены результаты имитационного моделирования, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.
Определены условия, в которых возможна адаптация алгоритма гарантированного оценивания к ошибкам измерений.
Предложен подход к построению адаптивного алгоритма гарантированного оценивания, который заключается в описании ошибок измерений с помощью формирующих фильтров. Предложен гарантированный подход к оценке параметров фильтра. При таком подходе осуществляется апостериорное информационное доопределение неизвестных помех, математическая модель которых используется в уравнениях гарантированного алгоритма с целью повышения точности решения задачи фильтрации. Предполагается, что математическая модель, оценка параметров которой осуществляется по результатам Nнаблюдений, достаточно точно описывает динамику неизвестных помех на рассматриваемом интервале. При поступлении следующего измерения ширина интервала, используемого для оценивания параметров модели, регулируется. После обработки (N+1) -го измерения ширина интервала наблюдений, используемого для оценивания параметров модели, регулируется, т.е. можно расширить интервал на это измерение или сохранить его ширину N, откинув первое измерение. В последнем случае осуществляется итеративное линейное оценивание параметров стохастической составляющей ряда с шириной «скользящего» интервала наблюдений.
Предложен подход к построению адаптивного алгоритма гарантированного оценивания, который заключается в статистической обработке априорных и апостериорных невязок измерений и ошибок оценивания.
Приведены результаты имитационного моделирования, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.