Введение 3
1 Квазибанаховы пространства последовательностей 6
2 L-ограниченные операторы 7
3 Голоморфные вырожденные группы операторов 10
4 Начально-конечная задача для неоднородного уравнения 13
5 Квазисоболевы пространства и квазиоператоры Лапласа и
Грина 16
6 Уравнение Хоффа 19
Заключение 21
Список литературы 21
Целью нашего исследования является разрешимость в квазибанаховых пространствах уравнения
Lu = Mu + f. (0.1)
с так называемым начально-конечным условием
А0(Цт0) - UQ) = Р1(и(т!) - ui) = 0, (0.2)
—оо < то < т-[ < +оо, Ро, Pi - относительно спектральные проекторы (которые будут определены позднее).
История задачи (0.1), (0.2) начинается с одной стороны в [17], где она названа задачей Веригина, а с другой стороны и независимо - в [3], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов PQ И PI рассматриваются спектральные проекторы оператора L, причем L вдобавок предполагается самосопряженным.
Наш подход в исследовании задачи (0.1), (0.2) основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Свиридюком [20], и развитой его учениками [И, 14, 18, 6], в частности, В.Е. Федоровым. Кроме того, методы, предложенные Г.А. Свиридюком, стали фундаментом алгоритмов численного решения уравнений леонтьевского типа (т.е. конечномерных уравнений Соболевского типа), которые в свою очередь сыграли важную роль в численных исследованиях экономических [13, 21, 22] и технических моделей [4, 31].
В [23] изложены первые результаты исследований задачи (0.1), (0.2), где рассмотрен частный случай задачи (0.1), (0.2) причем с более жесткими чем здесь условиями А-спектр оператора М. В [7] рассмотрена задача (0.1), (0.2), с теми же условиями на L-спектр оператора ЛЦ что и в [23], однако с этом случае отмечена возможность большего произвола
в относительно спектральных условиях. Необходимо отметить, что в настоящее время начально-конечные задачи для неклассических уравнений математической физики активно изучаются, в том числе и на множествах различной геометрической структуры [8, 15, 12]. Заметим еще, что если
(М) = 0, то условие (0.2) становится условием Шоуолтера - Сидорова [27] Р(и(0) — UQ) = 0 и поэтому считается естественным обобщением последнего [5], которое, в свою очередь, обобщает условие Коши.
Квазибан аховыми пространствами, как объектом исследования, заинтересовались не так давно, примером этого могут служить работы Н. Кэлтона (N. Kalton) [2], кроме того, такие пространства возникают при исследовании абелевых групп [5] и прикладных задач [16], [1]. Квазиба- наховы пространства изучены Г. А. Свири дюком, А.В.Келлер, Аль-Делфи Кадимом Кхалафом. Они перенесли результаты теории Г.А.Свиридюка об относительно р-ограниченного оператора L в квазибанаховы пространства. В настоящее время так же появились результаты для случая р- спектрального оператора L [10]. В дальнейшем был рассмотрен вопрос существования экспоненциальных дихотомий решений динамических уравнений Соболевского типа, рассматриваемых в квазибанаховых пространствах [19].
В [28] Н.А. Сидоровым и его учениками [29, 30] впервые были изучены начально-краевые задачи для уравнения Хоффа, причем в [29, 30] был отмечен феномен несуществования решений этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения начально-краевой задачи для уравнения Хоффа, было проведено в [24]. В [25] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения Хоффа, является простым <7°°-многообразием. Начально-конечная задача для уравнения Хоффа в банаховом пространстве была исследована [9].
Работа состоит из введения, заключения, списка литературы и 6 пара
графов. Первый параграф посвящен знакомству с понятием - квазибана- хово пространство последовательностей. Во втором параграфе рассмотрен вопрос (L, ^-ограниченные операторы. В третьем параграфе содержится информация о голоморфных вырожденных группах операторов. Квази- соболевы пространства и квазиоператоры Лапласа - главный вопрос четвертого параграфа. В пятом параграфе рассмотрены начально-конечная задача для неоднородного уравнения. Заключительный параграф посвящен уравнению Хоффа.
