Обозначения и соглашения 4
Введение 5
1. Предварительные сведения 8
2. Задача Штурма-Лиувилля 9
3. Решение линеаризованного уравнения Хоффа на прямоугольнике 14
Заключение 19
Список литературы 20
Уравнение Хоффа [11] имеет общий вид следующей формы:
Хщ + utxx = аи + /ЛЛ (1)
Это уравнение с краевым условием Неймана моделирует выпучивание двутавровой балки при постоянной нагрузке. Уравнение (1) изучалось на разных множествах и в различных аспектах [7, 8]. Так, например, в работе А.А. Баязитовой [2] исследовалось уравнение Хоффа на графе. П.О. Москвичева исследовала устойчивость решений этого уравнения с использованием функции Ляпунова [5]. А также, в работе [10] исследовано уравнение Хоффа на многообразиях. Однако, не смотря на различие аспектов во всех цитированных работах, подход к исследованию уравнения (1) одинаков.
Уравнение (1) редуцируется к абстрактному полулинейному уравнению Соболевского типа [7]
Lu = Ми + N(u), (2)
где L Е £(Я, $) - линейно непрерывный оператор и М Е - ли
нейно замкнутый, плотно определенный в И оператор, а N - нелинейный оператор, действующий из пространства И в пространство Пространства Я и 5 обычно банаховы. Параметры а, /3 Е R, характеризующие свойства материала балки, и A G R, характеризующий нагрузку, предполагаются известными.
Цель работы было построить решение нестационарного линеаризованного уравнения Хоффа на прямоугольнике с граничным условием Неймана. Для этого необходимо решить следующие задачи:
1) Задачу Штурма - Лиувилля для нахождения собственных функций и собственных значений оператора Лапласа с граничными условиями Ней-
В выпускной квалификационной работе рассмотрены задачи:
1) Задача Штурма - Лиувилля для нахождения собственных функций и собственных значений оператора Лапласа с граничными условиями Неймана на прямоугольнике с помощью метода Фурье.
2) Найдено решение однородного нестационарного линеаризованного уравнения Хоффа.
3) Найдено решение неоднородного нестационарного линеаризованного уравнения Хоффа.
Данное исследование может быть продолжено на вырожденный случай, а также численным решением в прикладном пакете программ.
