Уравнение Баренблатта — Желтова — Кониной
(Л — = аДм (1)
моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинноватопористой среде [1], где параметры А е R, а е R+ характеризуют среду. Отметим, что внимательный анализ вывода уравнения (1), сделанный в [4], показал, что отрицательные значения параметра Л не противоречат физическому смыслу. Кроме того, уравнение (1) может также служить моделью для влагопереноса в почве [10] и для теплопроводности в среде «с двумя температурам» [9].
Уравнение (1) относится к обширному классу уравнений Соболевского типа. Впервые уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе С.Л. Соболева [7], опубликованной в 1954 году. С тех пор уравнения Соболевского типа активно изучались в связи с большим количеством приложений.
Пусть Q С п 6 N — ограниченная область с границей д£1 класса С°°. Будем искать функцию и = u(x,t) определенную в цилиндре Q х R, и удовлетворяющую начальному
u(x,t) = UQ(X), х Е Q (2)
и краевому
и(х, t) = 0, (ж, t) Е д£1 х R (3)
условиям. Нашей задачей будет изучение устойчивости в смысле Ляпунова единственного (нулевого) стационарного решения задачи (1)-(3).
Основы теории устойчивости уравнений Соболевского типа заложены в [3], [5], где были изучены дихотомии линейных уравнений Соболевского типа. В работе [8] описаны экспоненциальные дихотомии решений уравнений
Баренблатта — Желтова — Кочиной, определенных на геометрическом графе. В данной работе впервые применяется метод функционала Ляпунова для исследования устойчивости нулевого решения задачи (1)-(3). Он подробно описан в [2].
Наш подход заключается в редукции задачи (1)-(3) к задаче Коши
ад(0) = и0 (4)
для абстрактного линейного однородного уравнения Соболевского типа
Lu = Ми
и применении затем методов теории относительно р-ограниченных операторов [6].
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе приводятся вспомогательные теоретические сведения: основные сведения теории относительно р-ограниченных операторов, разрешающих групп операторов, а так же метод функционала Ляпунова, модифицированный для случая нормированных пространств. Во второй главе проведена редукция задачи (1)-(3) к задаче (4)—(5), описано фазовое пространство уравнения (1), а также исследована устойчивость задачи (1)—(3), что и является основным результатом данной работы.
В выпускной квалификационной работе исследована устойчивость нулевого решения уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной, заданного в ограниченной области. В качестве основного метода исследования применен метод функционала Ляпунова, модифицированный для случая полных нормированных пространств. Полученные результаты сформулированы в виде теоремы.
Данную теорему можно интерпретировать следующим образом. Параметры А и а входящие в уравнение и характеризующие среду, имеют ключевое значение для оценки устойчивости. Анализ показал, что для асимптотической устойчивости требуется, чтобы а > 0. Это условие будет выполнено в любом случае в силу физического смысла этого параметра, что было отмечено еще при постановке задачи. Таким образом, об устойчивости и асимптотической устойчивости мы можем судить по параметру А. При А > 0 нулевое решение задачи Коши — Дирихле для уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной асимптотически устойчиво.
