Аннотация 2
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 6
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ 9
1.1. Кольца и поля 9
1.2. Теория представлений 11
1.3. Групповые кольца 13
2. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ
КОЛЕЦ МЕТАЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП ФРОБЕНИУСА . . . 18
2.1. Ранги групп единиц целочисленных групповых колец мета-
циклических групп Фробениуса 18
2.2. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Фробениуса Рцдз 27
2.3. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Фробениуса F13;6;4 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 42
Квалификационная работа посвящена изучению мультипликативной структуры групповых колец метациклических групп Фробениуса. В 1940 году была опубликована статья Хигмана „The units of group rings“ [27], в которой была построена теория групп единиц конечных абелевых групп. Результаты этой работы определили развитие теории единиц групповых колец и нашли свое применение в других областях.
В диссертации Р. Ж. Алеева [1] хигманова теория центральных единиц перенесена на группы центральных единиц целочисленных групповых колец произвольных конечных групп, и эти результаты используются в данной работе. Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц и полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольшого порядка, то получение информации о центре этой группы — важная часть информации о группе всех единиц. Дополнительную значимость этому придает результат [24, Теорема 3.7], который утверждает, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц.
В [1] построена теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL(2; 2n), выполнено описание группы центральных единиц для знакопеременных групп A5 и A6, циклических групп порядков n 6 10 и n = 12 и для линейной группы PSL(2,16). В работах Р. Ж. Алеева, О. В. Перавиной и О. В. Митиной [8] и [16] были исследованы группы центральных единиц для групп PSL(2,q), где q нечетно. Кроме того, в [2] ими изучены группы центральных единиц для групп PGL(2, q), где q нечетно. Р. Ж. Алеев, В. В. Соколов и А. В. Каргаполов в [7], [14] исследовали группы центральных единиц для знакопеременных групп.
За последнее время Р. Ж. Алеев, О. В. Митина и Т. А. Ханенко в [3], [4] и [5] исследовали группы центральных единиц для циклических групп порядков 16, 32 и 64. В настоящее время Р. Ж. Алеевым и его учениками А. Н. Воробьевым, Е. А. Кетовой и автором диссертации изучаются группы центральных единиц для циклических 3-групп, впервые результаты этой работы анонсированы в [6].
Важнейшей характеристикой группы центральных единиц является ее ранг. Р. Ж. Алеевым и его учениками получены эффективные формулы для вычисления рангов центральных единиц для циклических групп и групп PSL(2,q), PGL(2,q), зависящие от q. В работе [25] указана формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных абелевых групп. Отметим, что у Р. Ж. Алеева в [1] вычисление ранга выполняется с использованием таблиц характеров соответствующих групп, а метод Сегала [28] и Ферраза [26] для вычисления ранга требует изучения классов сопряженных элементов соответствующих групп.
Ранее в работах автора [17] и [18] изучены группы центральных единиц целочисленных групповых колец для групп диэдра D2n = ^a,b | a2 = bn = 1, aba = b~^ , квазикватернионных групп
Q4n = {a,b | a2 = bn, a~1ba = b-1) и обобщенных квазидиэдральных групп QD8n = (a,b | a2 = b4n = 1, aba = b2n~1) , где n > 2 и n 2 N. Найдена формула вычисления рангов таких групп единиц и выполнено описание группы центральных единиц с указанием вида элементов этих групп.
Целью работы является изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец для метациклических групп Фробениуса Fm;n;q = (b)m h (a)n c ядром (b) порядка m и дополнением (a) порядка n. Основными методами исследования являются методы теории конечных групп, теории характеров и теории чисел.
В результате выполнения работы получена формула для вычисления ранга групп центральных единиц целочисленных групповых колец мета- циклических групп Фробениуса. Доказаны следствия, показывающие, при каких значениях m и n ранг группы центральных единиц равен нулю или одному. Вычисляются значения рангов для некоторых простых m. Получено описание не только как абстрактных групп центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса порядков 55 и 78, но и указан вид элементов этих групп.
Основные результаты работы докладывались на международной школе-конференции по теории групп ([19] Челябинск, 2008 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения“ (Новосибирск, 2008 г.), IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Орёл, 2018 г.), 54-я научно-практическая конференция научнопедагогических работников и обучающихся ЮУрГГПУ (Челябинск, 2017 и 2019 г.). Результаты работы опубликованы в [20], [22] и [21]. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.
В работе получены следующие результаты.
1. Получена формула для вычисления рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец для метациклических групп Фробениуса Fm;n;q = (b)m h {a)n c ядром (b) порядка m и дополнением (a) порядка n (теорема 2.1), зависящая от порядка этой группы и выполнены вычисления рангов.
2. Подробно рассмотрен случай с простым m, а так же указаны значения m и n, при которых ранг группы центральных единиц равен нулю или одному (следствия 2.1, 2.5 и 2.7). Вычисляются значения рангов для некоторых простых m.
3. Получено не только абстрактное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец для метацикличе ской группы Фробениуса порядка 55 и 78 (теоремы 2.2, 2.3), но и указан вид элементов этих групп.
