📄Работа №196807
Тема: РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КВАДРАТОВ В РАЗБИЕНИЯХ И ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА ЭЛЛИПСАХ
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Программирование
Объем:
49 листов
Год:
2018
Просмотров:
49
4650
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 7
1.1. Описание исследований разбиений и проверяемых гипотез 7
1.1.1. Закономерности расположения квадратов в разбиении 7
1.1.2. Связь разбиений с целочисленными точками на эллипсе 7
1.1.3. Другие исследования 8
1.2. Разработка алгоритма 8
1.2.1. Рекуррентные формулы вычисления r1(n), r2(n) и r3(n) 8
1.2.2. Алгоритм вычисления squares(n) 9
2. РЕАЛИЗАЦИОННАЯ ЧАСТЬ 13
2.1. Реализация алгоритмов 13
2.2. Распараллеливание программы 16
2.3. Модули программы 16
2.4. Интерфейс 17
2.5. Тестирование 18
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ 23
3.1. Ранги 23
3.2. Закономерности расположения квадратов в разбиении 23
3.3. Распределение произведений элементов разбиений 26
3.4. Дополнение разбиений rank до squares 29
3.5. Распределение квадратов среди целых точек эллипса 31
3.6. Анализ результатов 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 41
ПРИЛОЖЕНИЯ 43
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 7
1.1. Описание исследований разбиений и проверяемых гипотез 7
1.1.1. Закономерности расположения квадратов в разбиении 7
1.1.2. Связь разбиений с целочисленными точками на эллипсе 7
1.1.3. Другие исследования 8
1.2. Разработка алгоритма 8
1.2.1. Рекуррентные формулы вычисления r1(n), r2(n) и r3(n) 8
1.2.2. Алгоритм вычисления squares(n) 9
2. РЕАЛИЗАЦИОННАЯ ЧАСТЬ 13
2.1. Реализация алгоритмов 13
2.2. Распараллеливание программы 16
2.3. Модули программы 16
2.4. Интерфейс 17
2.5. Тестирование 18
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ 23
3.1. Ранги 23
3.2. Закономерности расположения квадратов в разбиении 23
3.3. Распределение произведений элементов разбиений 26
3.4. Дополнение разбиений rank до squares 29
3.5. Распределение квадратов среди целых точек эллипса 31
3.6. Анализ результатов 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 41
ПРИЛОЖЕНИЯ 43
📖 Аннотация
В данной работе разработана программная система для исследования комбинаторных свойств разбиений натуральных чисел, в частности распределения квадратов в разбиениях и связи с целыми точками на эллипсах. Актуальность исследования обусловлена связью задачи о разбиениях, удовлетворяющих ряду арифметических условий, с проблемой вычисления ранга группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы, что отражено в работах Ферраза, Алеева и других. Основным результатом является создание программного комплекса, вычисляющего значения функций r₁(n), r₂(n), r₃(n), rank(n), squares(n) и генерирующего соответствующие разбиения. В ходе вычислительного эксперимента были реализованы и оптимизированы алгоритмы, однако устойчивые закономерности в поведении изучаемых разбиений, за исключением подтверждения отдельных известных результатов, выявить не удалось. Научная значимость работы заключается в создании инструмента для автоматизации исследований в теории разбиений и алгебраической теории чисел, а практическая — в предоставлении модульной и распараллеливаемой программы для дальнейшего анализа. Теоретической основой послужили классические труды по теории чисел Харди и Райта, а также современные исследования разбиений, такие как работы Эндрюса и Ферраза.
📖 Введение
Разбиением натурального числа п называется любая конечная невозрастающая последовательность натуральных чисел a1,a2, ...,ak, для которой
к
£«, = п, (1)
i=1
т.е. всякое представление числа суммой натуральных чисел [14, 22]. Разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются эквивалентными.
Приложения теории разбиений можно найти в областях, связанных с подсчетом или классификацией дискретных объектов, таких как молекулярное или атомное строение вещества, теория чисел, комбинаторика и различных разделах алгебры, например теории представлений симметрической группы [15, 22].
Актуальность
Связь разбиений с одной из задач алгебры была опубликована Фер- разом [4] и в работах [1, 11, 12], показавших, что ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени п равен количеству разбиений, удовлетворяющих следующим условиям.
1. Все элементы разбиения различны.
2. Все элементы разбиения нечетны.
3. п = k (mod 4), где к - длина разбиения.
4. Произведение элементов разбиения не является квадратом натурального числа.
Введем следующие обозначения:
• ri(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условию 1;
• r2(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-2;
• Гз(п) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-3;
• rank(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-4;
• squares(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-3 и не удовлетворяющих условию 4;
• r1mod8(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-3, причем P = 1 (mod 8), где P = Пк=1 ai.
Под разбиениями f (n), где f (n) - одна из выше перечисленных функций, будем понимать разбиения, удовлетворяющие условиям разбиений, чье количество равно значению f (n).
Как известно из асимптотического выражения Харди—Рамануджана [2, 5, 6] (2), число разбиений p(n) растет экспоненциально:
p(n)
Тем не менее, вычисление только значения p(n) представляет собой гораздо более легкую задачу, т.к. существует рекуррентная формула, выведенная Эйлером [22]. Так в 2014 году было вычислено значение p(1020) имеющее около 11 миллиардов цифр [7]. Главной сложностью задачи является необходимость генерации разбиений числа n для проверки необходимых условий. Значения r1(n), r2(n) и r3(n) также можно найти достаточно быстро, используя рекуррентные формулы [16, 21], по сравнению с затратами на вычисление squares(n) и rank(n). В случае с squares(n) и rank(n) условием, требующим генерации разбиений, является проверка произведения элементов на наличие квадратного корня.
В работе [16] были вычислены значения squares(n) и rank(n) до n = 1000. Дальнейшие вычисления требуют все больших ресурсов: оперативной памяти или узлов кластера для распараллеливания в зависимости от выбранного алгоритма.
Цель и задачи исследования
Основной целью работы является создание программы, вычисляющей значения r3(n), squares(n), r1mod8(n) и генерирующей разбиения этих функций для их последующего анализа. Экспоненциальный рост числа разбиений делает необходимым изучение разбиений по некоторым выделенным для них характеристикам, ввиду сложности восприятия выборки из большого числа разбиений и работы с ней. Главная задача анализа разбиений заключается в поиске закономерностей, преобладающих характеристик в их строении и связи разбиений с целочисленными точками на эллипсах. Анализ особенностей разбиений данных типов имеет ценность для разработки более эффективных алгоритмов расчета rank(n).
Задачи исследования:
• разработать и реализовать алгоритмы вычисления r1(n), r2(n), r3(n) и генерации соответствующих разбиений на основе рекуррентных формул;
• разработать и реализовать алгоритм вычисления r1modg(n) и генерации соответствующих разбиений;
• разработать и реализовать алгоритм вычисления squares(n) и генерации соответствующих разбиений;
• реализовать вычисление rank(n) на основе предыдущих алгоритмов;
• проанализировать сгенерированные разбиения и проверить гипотезы о преобладающих характеристиках в их строении;
• скомпоновать полученные результаты.
Структура и объем
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех основных разделов, заключения, библиографии и 5 приложений. Объем работы составляет 42 страницы, объем библиографии - 22 наименования, объем приложений - 8 страниц.
Содержание работы
В первом разделе «Теоретическая часть» представлены описания характеристик разбиений, гипотезы об их строении, которые исследуются в третьем разделе, и разработка алгоритма для генерации требуемых разбиений на основе существующих аналогов.
Во втором разделе «Реализационная часть» описывается программная реализация алгоритмов подсчета количества и генерации разбиений, удовлетворяющих заданным условиям.
В третьем разделе «Экспериментальная часть» представлены результаты вычислительных экспериментов, проведен их анализ, проверены гипотезы, выдвинутые в первом разделе, и сделаны выводы о строении рассматриваемых разбиений и их распределении относительно разбиений с меньшим количеством условий.
В заключении приводятся основные результаты работы и подводятся итоги анализов проведенных исследований.
к
£«, = п, (1)
i=1
т.е. всякое представление числа суммой натуральных чисел [14, 22]. Разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются эквивалентными.
Приложения теории разбиений можно найти в областях, связанных с подсчетом или классификацией дискретных объектов, таких как молекулярное или атомное строение вещества, теория чисел, комбинаторика и различных разделах алгебры, например теории представлений симметрической группы [15, 22].
Актуальность
Связь разбиений с одной из задач алгебры была опубликована Фер- разом [4] и в работах [1, 11, 12], показавших, что ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени п равен количеству разбиений, удовлетворяющих следующим условиям.
1. Все элементы разбиения различны.
2. Все элементы разбиения нечетны.
3. п = k (mod 4), где к - длина разбиения.
4. Произведение элементов разбиения не является квадратом натурального числа.
Введем следующие обозначения:
• ri(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условию 1;
• r2(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-2;
• Гз(п) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-3;
• rank(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-4;
• squares(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-3 и не удовлетворяющих условию 4;
• r1mod8(n) - число разбиений п, удовлетворяющих условиям 1-3, причем P = 1 (mod 8), где P = Пк=1 ai.
Под разбиениями f (n), где f (n) - одна из выше перечисленных функций, будем понимать разбиения, удовлетворяющие условиям разбиений, чье количество равно значению f (n).
Как известно из асимптотического выражения Харди—Рамануджана [2, 5, 6] (2), число разбиений p(n) растет экспоненциально:
p(n)
Тем не менее, вычисление только значения p(n) представляет собой гораздо более легкую задачу, т.к. существует рекуррентная формула, выведенная Эйлером [22]. Так в 2014 году было вычислено значение p(1020) имеющее около 11 миллиардов цифр [7]. Главной сложностью задачи является необходимость генерации разбиений числа n для проверки необходимых условий. Значения r1(n), r2(n) и r3(n) также можно найти достаточно быстро, используя рекуррентные формулы [16, 21], по сравнению с затратами на вычисление squares(n) и rank(n). В случае с squares(n) и rank(n) условием, требующим генерации разбиений, является проверка произведения элементов на наличие квадратного корня.
В работе [16] были вычислены значения squares(n) и rank(n) до n = 1000. Дальнейшие вычисления требуют все больших ресурсов: оперативной памяти или узлов кластера для распараллеливания в зависимости от выбранного алгоритма.
Цель и задачи исследования
Основной целью работы является создание программы, вычисляющей значения r3(n), squares(n), r1mod8(n) и генерирующей разбиения этих функций для их последующего анализа. Экспоненциальный рост числа разбиений делает необходимым изучение разбиений по некоторым выделенным для них характеристикам, ввиду сложности восприятия выборки из большого числа разбиений и работы с ней. Главная задача анализа разбиений заключается в поиске закономерностей, преобладающих характеристик в их строении и связи разбиений с целочисленными точками на эллипсах. Анализ особенностей разбиений данных типов имеет ценность для разработки более эффективных алгоритмов расчета rank(n).
Задачи исследования:
• разработать и реализовать алгоритмы вычисления r1(n), r2(n), r3(n) и генерации соответствующих разбиений на основе рекуррентных формул;
• разработать и реализовать алгоритм вычисления r1modg(n) и генерации соответствующих разбиений;
• разработать и реализовать алгоритм вычисления squares(n) и генерации соответствующих разбиений;
• реализовать вычисление rank(n) на основе предыдущих алгоритмов;
• проанализировать сгенерированные разбиения и проверить гипотезы о преобладающих характеристиках в их строении;
• скомпоновать полученные результаты.
Структура и объем
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех основных разделов, заключения, библиографии и 5 приложений. Объем работы составляет 42 страницы, объем библиографии - 22 наименования, объем приложений - 8 страниц.
Содержание работы
В первом разделе «Теоретическая часть» представлены описания характеристик разбиений, гипотезы об их строении, которые исследуются в третьем разделе, и разработка алгоритма для генерации требуемых разбиений на основе существующих аналогов.
Во втором разделе «Реализационная часть» описывается программная реализация алгоритмов подсчета количества и генерации разбиений, удовлетворяющих заданным условиям.
В третьем разделе «Экспериментальная часть» представлены результаты вычислительных экспериментов, проведен их анализ, проверены гипотезы, выдвинутые в первом разделе, и сделаны выводы о строении рассматриваемых разбиений и их распределении относительно разбиений с меньшим количеством условий.
В заключении приводятся основные результаты работы и подводятся итоги анализов проведенных исследований.
✅ Заключение
Результатом работы является программа вычисляющая значения функций r1(n), r2(n), r3(n), rank(n), squares(n), r1mods(n) и генерирующая соответствующие разбиения.
В ходе работы были решены следующие задачи:
1) разработаны и реализованы алгоритмы вычисления перечисленных выше функций и поиска разбиений с заданными условиями;
2) получены результаты вычислительных экспериментов для проведения последующих исследований;
3) полученные результаты были проанализированы и скомпонованы.
На основе проведенного анализа результатов не удалось выявить преобладающих закономерностей в поведении рассматриваемых разбиений, за исключением подтвержденных результатов работы [19]. Гипотезы о преобладании определенных элементов в разбиениях не подтвердились, и полученную информацию об их поведении сложно адаптировать к решению задачи о вычислениях rank(n) для больших n. Дальнейшая работа в данной области требует более глубоких исследований характеристик рассматриваемых разбиений.
В ходе работы были решены следующие задачи:
1) разработаны и реализованы алгоритмы вычисления перечисленных выше функций и поиска разбиений с заданными условиями;
2) получены результаты вычислительных экспериментов для проведения последующих исследований;
3) полученные результаты были проанализированы и скомпонованы.
На основе проведенного анализа результатов не удалось выявить преобладающих закономерностей в поведении рассматриваемых разбиений, за исключением подтвержденных результатов работы [19]. Гипотезы о преобладании определенных элементов в разбиениях не подтвердились, и полученную информацию об их поведении сложно адаптировать к решению задачи о вычислениях rank(n) для больших n. Дальнейшая работа в данной области требует более глубоких исследований характеристик рассматриваемых разбиений.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.