Возникновение и развитие теории вырожденных (полу)групп операторов

Аннотация 2
Введение 4
Относительно р-секториальные операторы 21
(Др)-радиальные операторы 28
Заключение 33
Библиографический список 34

Купить

Постановка задачи
Исследование полугрупп операторов было инициировано изучением параболических уравнений. Теория (полу)групп операторов с середины XX века стала одним из основных инструментов изучения задачи Коши
^(0) = VQ (1)
для абстрактных операторно-дифференциальных уравнений
v = Cv. (2)
Построение разрешающих (полу)групп операторов [52] является одним из методов нахождения аналитических решений задачи (1), (2). В случае линейного уравнения (2) теория (полу)групп операторов возникла в работах E. Hille, R.S. Phillips, K. Yosida, W. Feller и других и получила широкое применение при изучении различных начально-краевых задач для уравнений математической физики [53, 54, 65, 51, 71, 50, 60, 2].
Американский математик E. Hille (1894 - 1980) был одним из основателей теории полугрупп. Основные труды E. Hille посвящены функциональному анализу. Монография E. Hille [46], которая была издана в 1951 г. стала одним из основных, на тот момент времени, собранием трудов по данной тематике. Книга является одной из первых попыток систематического изложения функционального анализа на базе понятия полугрупп. После 1948 г. развитие теории полугрупп, а также приложений этой теории достигли значительных успехов. В этот же период времени E. Hille, независимо от K. Yosida [8] открыл основную теорему о производящих операторах. А также E. Hille удалось продемонстрировать применение данной теоремы к уравнению диффузии. E. Hille начал исследование задачи Коши (с 1949 г.) с помощью методов теории полугрупп. На данное исследование E. Hille подвигли работы K. Yosida. Вскоре возможности этого нового подхода заинтересовали американского ученого W. Feller. В частности, можно отметить проведенное им совместно со своими учениками глубокое исследование сингулярной краевой задачи для уравнения диффузии [62]. Еще оди- ним американским ученым, который внес большой свой вклад в развитие теории полугрупп, был R.S. Phillips (1913 - 1998). Ему удалось обогатить эту теории и заполнить многие пробелы, которые оставил E. Hille. Результатом их совместной работы стала новая монография E. Hille, R.S. Phillips [47]. Теорема Хилле - Иосиды - Филлера - Филлипса - Миядеры (теорема ХИФФМ, [47]) является основным результатом классической теории полугрупп.
Уравнения или системы уравнений в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по времени, которые позволяют моделировать обширный класс процессов и явлений в естествознании и технике, могут быть представлены в виде абстрактного уравнения
Lu = Ми, ker L = {0}. (3)
Уравнения такого вида называют уравнениями соболевского типа [6, 72, 63, 15, 14, 64]. Систематическое изучение уравнений, сводящихся к уравнению (3), было начато в середине XX века. Известно, что первые упоминания об уравнениях данного типа встречаются в работах H. Poincare [66]. В современных математических исследованиях, после основополагающих работ С.Л. Соболева, дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной по времени стали называть "уравнениями соболевского типа". Этот термин ввел R.E. Showalter [67, 68]. Уравнения соболевского типа охватывают обширную область в неклассических уравнениях математической физики, поэтому мы ограничимся только изучением истории развития теории одного из подходов, который предполагает использование методов (полу)групп операторов.
Основной трудностью изучения задачи (1), (3) является ее принципиальная неразрешимость при произвольном начальном значении и0, взятом пусть даже из плотного линеала исходного банахового пространства U. Поэтому актуальным является поиск и описание структуры множества начальных значений (1), для которых задача (1), (3) имеет решение. Одним из успешных методов изучения линейной задачи (1), (3) стала теория вырожденных разрешающих (полу)групп операторов, которая была впервые построена в [16, 17] и получила свое развитие в дальнейших работах Г.А. Свиридюка и его учеников. В 2003 г. вышла монография [70], в которой были систематизированы результаты теории (полу)групп разрешающих операторов с ядрами и приведены основные условия, при которых образ разрешающей (полу)группы совпадет с фазовым пространством соответствующего уравнения, определенного на подпространстве.
Характеристику современного состояния теории (полу)групп разрешающих операторов начнем с обзора ее ключевых теоретических аспектов, то есть основных направлений, в которых учеными осуществлялся научный поиск. Кроме того попытаемся выявить основные виды исследований, которые имеют принципиальное значение для ее целостности. Таким образом, к ключевым теоретическим аспектам исследуемой нами теории вырожденных разрешающих (полу)групп операторов мы относим ее понятийный аппарат.
В дальнейшем, будем рассматривать банаховы пространства U и F, линейный и непрерывный оператор L Е £(Я; F), линейный и замкнутый оператор М : dom М F с областью определения dom М плотной в U. Исследуем вопрос развития теории вырожденных разрешающих (полу)групп уравнения вида (3). В случае когда существует оператор /. 1 Е C(F; U) обратный к оператору L уравнение (3) можно свести к двум эквивалентных ему уравнениям
« = Su, ,f = Tf, (4)
тогда операторы S = L~1M : dom S U, T = ML~1 : dom T F линейны и замкнуты по построению. Уравнения (4) могут быть рассмотрены в рамках общего невырожденного уравнения (2) с линейным, замкнутым и плотно определенным оператором С : dom С V в некотором банаховом пространстве V. В классической теории невырожденных (полу)групп операторов можно выделить три основных случая. 
Случай ограниченного оператора
Пусть dom С = V, т. е. С Е £(V). Тогда существует аналитическая (во всей плоскости C) pазpешающая группа операторов уpавнения (2), которую можно построить при помощи интегралов Данфорда - Тейлора где t Е R, R^(C) = (pl — С)-1 - резольвента оператора С, а Г с C - контур, ограничивающий область, содержащую спектр а(С) оператора С.

Случай секториального оператора
Пусть оператор С секториален, т. е. существуют константы а Е R, k Е R+ и 0 Е (2,%) такие, что сектор
Sa,&(C) = {р Е C : | arg(// - а) < 0, ц = а} С р(С),
причем
к
R,(C)hr — а|
Тогда существует аналитическая в секторе {г Е C : | argг| < 0 — 2} разрешающая полугруппа уравнения (2), имеющая вид (5) при t Е R+, где контур Г С Say(C) таков, что | argр ±0 при р +то, и
V0 = I.
Случай радиального оператора
Пусть, наконец, оператор С радиален, т. е. существуют константы а Е R и к Е R+ такие, что луч (а, +то) С р(С), причем
к
№)) llr(v) < _ О|П Чц G (щ +^0 Vn G N.
Тогда существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа уравнения (2), которая может быть получена либо посредством аппроксимаций
Иосиды yt = s- цт e(H2R^(C')-^i')t
(Л—>+^o
либо посредством аппроксимаций Поста - Уиддера
Vt = s- lim (l - .
n^+ж у n /
В силу редукции (4) уравнения (3) к невырожденному уравнению (2) на сегодняшний момент в теории вырожденных (полу)групп операторов можно выделить три основных случая аналогично невырожденной теории.
Целью выпускной квалификационной работы является исследование истории развития теории вырожденных (полу)групп разрешающих операторов лежащей параллельно случаям относительно ограниченного, относительно секториального и относительно радиального операторов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) Провести анализ современного состояние теории (полу)групп разрешающих операторов.
2) Представить историографию развития теории в случае относительно ограниченного оператора.
3) Представить историографию развития теории в случае относительно секториального оператора.
4) Представить историографию развития теории в случае относительно радиального оператора.
Историография и актуальность исследования
Для понимания сущности теории вырожденных разрешающих (по- лу)групп операторов, помимо изучения ключевых аспектов данной теории, необходимо, прежде всего, рассмотреть историю становления исследуемого вопроса. Мы рассматривали историю развития теории вырожденных (полу)групп операторов с 90-х гг. ХХ века, т.к. в современном виде она сформировалась в этот период.
Н.А. Сидоров [33] со своими учениками и независимо от них R.E. Showalter [69] первыми начали изучать линейные уравнения вида
Lu = Ми + f
с различными вырождениями оператора L. R.E. Showalter [68] ввел термин "голоморфные разрешающие группы". Г.А. Свиридюком [20] впервые были построены голоморфные вырожденные группы операторов, которые являлись разрешающими группами линейного уравнений соболевского типа (3). В настоящее время, как вырожденные голоморфные группы операторов, так и уравнения соболевского типа являются активно изучаемыми областями функционального анализа.
Перенос теории сильно непрерывных полугрупп операторов на случай линейных уравнений соболевского типа был предпринят А. Yagi [73] и независимо от него Г.А. Свиридюком [22]. Было отмечено, что в отличии от невырожденного случая единицей полугруппы операторов вырожденного уравнения является проектор, действующий на некоторое подпространство, а в случае невырожденных полугрупп операторов - тождественный оператор. Поэтому задача Коши разрешима не при всех начальных значениях. В силу этой особенности полугруппы операторов вырожденного уравнения в дальнейшем принято называть вырожденными, или иначе полугруппами операторов с ядрами. В проблематике выроженных голоморфных групп операторов активно работают А. Favini [57, 56, 55], И.В. Мельникова и М.А. Альшанский [12, 13] и другие исследователи.
А. Yagi [73] строит разрешающую сильно непрерывную полугруппу однородного уравнения (3), заданную только на подпространстве. В.С. Шаро- глазов [48], основываясь на результатах, полученных Н.А. Сидоровым [34], строит на некотором подпространстве Сфнепрерывную полугруппу, разрешающую однородное уравнение (3) с замкнутыми, плотно определенными операторами L, М. Г.А. Свиридюк [19] определяет относительно лучевой оператор. Можно заметить, что в работах А. Yagi, М.А. Альшанского и Г.А. Свиридюка присутствуют схожии условия на операторы L, М, которые являются обобщением условия радиальности оператора операторами L~1M.
Г.А. Свиридюк является основателем теории вырожденных (полу)групп операторов. Им впервые были предложены концепции изучения вырожденного уравнения в случае относительно ограниченных, секториальных и радиальных операторов, и продемонстрированы приложения данных теорий. Им были впервые были построены понятия относительно ограниченного [16], относительно секториального [18] и относительно радиального [19] операторов. В его работах впервые доказано, что вырожденные голоморфные группы, вырожденные аналитические полугруппы, сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов будут порождаться линейными уравнениями соболевского типа с операторами данных классов. Причем фазовые пространства соответствующих уравнений совпадают с образами всех этих групп и полугрупп разрешающих операторов.
В 1993 г. Г.А. Свиридюк защитил докторскую диссертацию, которая легла в основу его теории. В диссертации были заложены метод фазового пространства для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, построена основа для развития теории вырожденных (полу)групп операторов. В этой работе Г.А. Свиридюком была сформулирована задача Шоуолтера - Сидорова, а также доказана ее связь с задачей Коши.
Результаты, полученные Г.А. Свиридюком развили его ученики. Г.А. Свиридюком и его ученицей Т.А. Бокаревой введено понятие (L, а)- секториального оператора М [1]. В дальнейшем под руководством Г.А. Сви- ридюка и Т.Г. Сукачевой Л.Л. Дудко были получены необходимые и достаточные условия относительной a-ограниченности линейных операторов [4, 24]. В кандидатской диссертации под руководством Г.А. Свиридюка В.Е. Федоров придает теории вырожденных (полу)групп операторов современный вид [35]. В.Е. Федоров теорию линейных уравнений соболевского типа и вырожденных групп и полугрупп операторов удачно адаптировал для понимания студентами старших курсов математических специальностей [37].
Получение достаточных условий существования разрешающих групп, на случай ker L = {0}, то есть обобщение прямого утверждения равномерной версии теоремы ХИФФМ, обосновано Г.А. Свиридюком при помощи понятия относительно a-ограниченного оператора [16], которое обобщает понятие ограниченного оператора и равносильной регулярности операторного пучка [1L + М. С понятием (L, ^-ограниченности оператора М связано три случая: точка х является устранимой особой точкой, полюсом порядка р Е N или существественно особой точкой L-резольвенты (pL — М)-1оператора М. Обобщение обратного утверждения аналитической версии теоремы ХИФФМ при р = 0 получено в совместной работе Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [22].
Важной задачей при исследовании уравнений соболевского типа является нахождение их фазового пространства. В работах Г.А. Свиридюка показано, что если оператор М (L, а)-ограничен, то в случае устранимой особой точки или полюса в бесконечности фазовое пространство совпадает с образом разрешающей группы уравнения. Заметим, что в работе A. Favini [56] возникает аналогичное понятие полюса L-резольвенты (pL — М)-1оператора М. В ней исследуется разрешимость уравнений соболевского типа на банаховом пространстве, но разрешающие полугруппы не строятся. В работе [55] построена разрешающая полугруппа без единицы, имеющая тот же вид, что и полугруппа, построенная Г.А. Свиридюком [20] при условии (Ь,р)-секториальности оператора М для уравнения (3).
Первая монография [70], посвященная вырожденным (полу)группам была издана в 2003 г. Абстрактные результаты, предложенные Г.А. Свириди- ком и его учениками, нашли свое применение в различных прикладных задачах: в теории динамических измерений [49], в теории устойчивости уравнений соболевского типа [11, 15], в теории оптимального управления [23], в изучении уравнений соболевского типа высокого порядка [6].
Г.А. Свиридюк и его ученики смогли найти ответ на вопросы несуществования и неединственности решений вырожденных уравнений, при помощи разработанного метода фазового пространства и обосновав теорию вырожденных (полу)групп операторов. В дальнейшем Г.А. Свиридюком и А.В. Келлер был найден ответ на вопрос о неустойчивости решений. Они первыми, начали исследовать неустойчивость в терминах дихотомий решений [27]. Полученные результаты были изложены в кандидатской диссертации А.В. Келлер [9], где она рассмотрела случаи линейных уравнений соболевского типа с (L, ^-ограниченными и (Ь,р)-секториальными операторами.
В дальнейшем результаты полученные А.В. Келлер, были распространены на случай полулинейного уравнения соболевского типа с относительно р-ограниченным оператором [11]. В.Е. Федоров и М.А. Сагадеева в совместной работе рассмотрели случай относительно р-радиального оператора [44], а С.А. Загребина изучила случай полулинейного уравнения соболевского типа с относительно р-секториальным оператором [5].
В дальнейшее развитие теория получила в работах В.Е. Федорова [41, 42, 40]. Ему удалось результаты полученные при исследовании уравнений вида (3) в банаховых пространствах распространить на случай локально выпуклых пространств. Поскольку основным методом исследования в обоих случаях служит понятие резольвенты генератора полугруппы, то теория (полу)групп в случае локально выпуклых пространств оказалась близка к теории (полу)групп в банаховых пространствах.
Построение вырожденных разрешающих (полу)групп операторов лежит в основе аналитического исследования вырожденных эволюционных уравнений. Построение теории полугрупп в банаховых пространствах схоже по своей структуре с построением теории вырожденных голоморфных групп операторов в квазибанаховых пространствах. Теория вырожденных полугрупп разрешающих эволюционное уравнение соболевского типа вида (3) относительно ограниченого оператора в квазибанаховых пространствах последовательностей изложена в работе А.В. Келлер и Дж.К. АльДелфи [10]. В случае относительно секториального оператора в квазиба- наховых пространствах последовательностей в работе А.А. Замышляевой и Дж.К. Аль-Исави [7] построена теория вырожденных полугрупп разрешающих эволюционное уравнение соболевского типа вида (3). Случай вырожденных С0-непрерывных полугрупп операторов в квазибанаховых пространствах был рассмотрен в [32].
Отметим также, что построенные вырожденные (полу)группы операторов нашли свое применение для исследования стохастических уравнений
соболевского типа [58, 61, 59]
L % = Мц + Nu.
Однако, несмотря на существенный интерес который проявляют ученые к данной проблеме и значительные результаты, опубликованные к настоящему времени появились исторические заметки, в которых искажается действительность, поэтому необходимо систематизировать результаты авторов, уже полученные в этом направлении.
Методы исследования
1. Анализ литературы по проблеме исследования, включающий: составление библиографии - перечня источников, отобранных для работы в связи с исследуемой проблемой;
реферирование - сжатое переложение основного содержания одной или нескольких работ по общей тематике;
аннотирование - краткая запись общего содержания книги или статьи;
цитирование - дословная запись выражений, фактических или цифровых данных, содержащихся в литературном источнике.
2. Интервью с ведущим специалистом по теме исследования доктором физико-математических наук, профессором Г.А. Свиридюком.
Краткое содержание
Во введении представлена характеристика современного состояния теории вырожденных (полу)групп разрешающих операторов, обоснована актуальность выбранного исследования, сформулированы цель и задачи работы, определены методы исследования. В первом параграфе представлена историография теории вырожденных групп разрешающих операторов в случае (L, ^-ограниченного оператора. Во втором параграфе проведен анализ истории развития теории в случае (Дд)-секториального оператора, в третьем параграфе - в случае (Дд)-радиального оператора.

Купить