Помощь студентам в учебе
Исследование одного класса сингулярных математических моделей
|
Аннотация 2
Введение 4
1. Вспомогательные утверждения 9
2. Признаки корректной разрешимости краевых задач для
сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 18
3. Разрешимость квазилинейных задач для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 27
Заключение 34
Библиографический список 35
Введение 4
1. Вспомогательные утверждения 9
2. Признаки корректной разрешимости краевых задач для
сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 18
3. Разрешимость квазилинейных задач для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 27
Заключение 34
Библиографический список 35
Квазилинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) являются объектом интенсивного изучения начиная со времен С.Н. Бернштейна и М. Нагумо. Интерес к таким объектам объясняется и тем, что квазилинейные краевые задачи возникают в математических моделях многих реальных процессов (в биологии, химии, экологии, экономике и др.).
Классические методы изучения квазилинейных краевых задач для ОДУ, в основном, сводится к следующим схемам: 1) получение априорных оценок решений с последующим применением теорем о неподвижных точках к вспомогательному интегральному уравнению (схема Лере-Шаудера); 2) построение последовательных приближений решения и доказательство сходи- миости. Кроме того, разработаны методы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач, основанные на использовании специфических свойств рассматриваемой задачи (монотонность в смысле полуупорядоченности или по Минти-Браудера и т.д.). Вопросы разрешимости квазилинейных краевых задач для ОДУ изучились многими авторма. Отметим работы Н.В. Азбелева, Н.И. Васильева, В.В. Гудкова, И.Т. Кигурадзе, Ю.А. Клюкова, Б.Л. Шехтера и др.
Дальнейшее развитие теории квазилинейных краевых задач привело к необходимости рассмеотрения задач для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Разработке основ теории квазилинейных краевых задач для ФДУ посвящены основополагающие работы Н.В. Азбелева, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла и других авторов [38,44,53,55]. Наиболее полно и многосторонне теория квазилинейныз краевых задач нашла отражение в работах участников Пермского Семинара под руководством профессора Н.В. Азбелева [9-15]. Отметим работы А.Р. Абдуллаева [1-8], Н.В. Азбелева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова, посвященные исследованию условий разрешимости квазилинейных задач для ФДУ.
Целое направление в изучении квазилинейных задач для ФДУ восходит к работам Н.В. Азбелева и В.П. Максимова [40-42], где для установления признаков разрешимости квазилинейных краевых задач предлагаются способы получения и использования априорных оценок решений, вводится новое понятие априорного неравенства.
Следуя [12], функционально-дифференциальным уравнением X = Fx называется уравнение с оператором F, определенным на некотором множестве абсолютно непрерывных функций D прямому произведению L х Rn и, вытекающее из этого факта разложение линейного оператора L : D ! L на бесконечномерное и конечномерное слагаемые. Замена лебегова пространства L на банахово пространство B позволяет распространить теорию ФДУ и на другие классы уравнений, например, на сингулярные дифференциальные уравнения. Таким образом мы приходим к теории «абстрактного ФДУ». Отмемит работы по этому вопросу Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной [17-20].
Объектом изучения в предлагаемой работе является квазилинейная краевая задача, записанная в виде системы двух уравнений
Lx = Fx,
. (0.1)
'X = 'X,
где L : D ! B - линейные ограниченный оператор, F : D ! B - непрерывный оператор, ' : D ! Rn - линейный ограниченный вектор-функционал, ' : D ! Rn - непрерывный вектор-функционал. Банахово пространство D изоморфно прямому произведению банахова пространства B и Rn. Отметим, что, если краевая задача записана в виде системы (0.1), то второе уравнение называется краевыми условиями задача.
Отметим [12], что в виде (0.1) можно записать многие актуальные классы квазилинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегродифференциальных, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнение с последействием и других уравнений.
Классические схемы исследования на разрешимость задачи (0.1) используют принципе неподвижной точки Банаха или схему Шаудера. В первом случае необходима липшицевость как оператора F , так и вектора- функционала '. Во втором случае требуется полная непрерывность оператора F. Идея одной из предлагаемых схем опирается на предположение о «конечномерной параметризуемости» множества решений уравнения
Lx = Fx. (0.2)
Уравнение конечномерно параметризуемо, если между множеством решений уравнения и некоторым замкнутым подмножеством конечномерного пространства существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. n - мерная параметризуемость является частным случаем «приводимости» уравнения [12]. (Уравнение (0.2) называется приводимым, если существует такой вполне непрерывный оператор F0 : D ! B, что множества решений уравнения (0.2) и уравнения Lx = F0x совпадают). Линейное уравнение приводимо тогда и только тогда, когда множество его решений конечномерно параметризуемо. Впервые понятие приводимости введено Н.В. Азбелевым. Отметим исследования по этому вопросу А.Р. Абдуллаева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова [40-42].
В предположении n - мерной параметризуемости решение уравнения (0.2) имеет представление
x = Ma + Xa,
где оператор M : Rn ! D - непрерывен, X - фундаментальный вектор уравнения Lx = 0, a 2 Rn (фундаментальным назвается вектор X = {xi, • • • , xng, где xi, • • • , xn составляют базис линейного многообразия решений однородного уравнения Lx = 0 [12]). Подставляя представление (0.3) в краевые условия задачи (0.1), получаем уравнение
'(Ma + Xa) = '(Ma + Xa)
относительно a. И, если найдется a, удовлетворяющее полученному уравнению, то задача (0.1) будет иметь решение.
В работе используется схема исследования задачи (0.1),(0.2) на корректную разрешимость приведенная в работах [36,37]. Эта схема реализуемая для сингулярного дифференциального уравнения вида:
^(t)x + fix = f (t, x).
Краевые задачи для уравнения (0.4) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [26]. В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.4).
В работе изучается разрешимость краевых задач для сингулярного уравнения
^(t)x(t) + flX(t) = f (t,x(t)) (0.5)
Полученные здесь утверждения основаны на применении общей схемы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач. Вопрос о разрешимости различных краевых задач для уравнения (0.5) изучался многими авторами [1,33]. Известные подходы в изучении сингулярных уравнений условно можно отнести к двум направлениям: классический [8], основанный на использовании метода априорных оценок и неравенств, и подход, основанный на идеях теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений [9], где конструируется специальное пространство решений, и используется факт изоморфности данного пространства и прямого произведения некоторого банахова пространства и Rn. Отметим такие работы, использующие построение специальных пространств для сингулярных произведений как [5,8,17]
Отметим, что краевые задачи для уравнения (0.5) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [9], или при описании формы свободной поверхности осесимметричного слоя жидкости с учетом массовых сил и поверхностного натяжения [8]. Так, в работах [13,15,16,18] рассматривается уравнение
X + X + 7 exp ( — J = 0
t у x + ту
0 < t < 1, ft0 > 0, т > 0. Оно возникает в теории химических реакций. x - безразмерная температура, fl0 exp уду) - некоторая «скорость реакции». Уравнение (0.6) является частным случаем уравнения (0.5).
В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.5).
Цель работы. Исследование условий разрешимости квазилинейных краевых задач с гладкими нелинейностями в уравнении или краевых условиях. Получение эффективных признаков разрешимости некоторых конкретных классов краевых задач для сингулярных уравнений.
Условимся обозначать доказательство внутри символов < ... >.
Классические методы изучения квазилинейных краевых задач для ОДУ, в основном, сводится к следующим схемам: 1) получение априорных оценок решений с последующим применением теорем о неподвижных точках к вспомогательному интегральному уравнению (схема Лере-Шаудера); 2) построение последовательных приближений решения и доказательство сходи- миости. Кроме того, разработаны методы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач, основанные на использовании специфических свойств рассматриваемой задачи (монотонность в смысле полуупорядоченности или по Минти-Браудера и т.д.). Вопросы разрешимости квазилинейных краевых задач для ОДУ изучились многими авторма. Отметим работы Н.В. Азбелева, Н.И. Васильева, В.В. Гудкова, И.Т. Кигурадзе, Ю.А. Клюкова, Б.Л. Шехтера и др.
Дальнейшее развитие теории квазилинейных краевых задач привело к необходимости рассмеотрения задач для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Разработке основ теории квазилинейных краевых задач для ФДУ посвящены основополагающие работы Н.В. Азбелева, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла и других авторов [38,44,53,55]. Наиболее полно и многосторонне теория квазилинейныз краевых задач нашла отражение в работах участников Пермского Семинара под руководством профессора Н.В. Азбелева [9-15]. Отметим работы А.Р. Абдуллаева [1-8], Н.В. Азбелева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова, посвященные исследованию условий разрешимости квазилинейных задач для ФДУ.
Целое направление в изучении квазилинейных задач для ФДУ восходит к работам Н.В. Азбелева и В.П. Максимова [40-42], где для установления признаков разрешимости квазилинейных краевых задач предлагаются способы получения и использования априорных оценок решений, вводится новое понятие априорного неравенства.
Следуя [12], функционально-дифференциальным уравнением X = Fx называется уравнение с оператором F, определенным на некотором множестве абсолютно непрерывных функций D прямому произведению L х Rn и, вытекающее из этого факта разложение линейного оператора L : D ! L на бесконечномерное и конечномерное слагаемые. Замена лебегова пространства L на банахово пространство B позволяет распространить теорию ФДУ и на другие классы уравнений, например, на сингулярные дифференциальные уравнения. Таким образом мы приходим к теории «абстрактного ФДУ». Отмемит работы по этому вопросу Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной [17-20].
Объектом изучения в предлагаемой работе является квазилинейная краевая задача, записанная в виде системы двух уравнений
Lx = Fx,
. (0.1)
'X = 'X,
где L : D ! B - линейные ограниченный оператор, F : D ! B - непрерывный оператор, ' : D ! Rn - линейный ограниченный вектор-функционал, ' : D ! Rn - непрерывный вектор-функционал. Банахово пространство D изоморфно прямому произведению банахова пространства B и Rn. Отметим, что, если краевая задача записана в виде системы (0.1), то второе уравнение называется краевыми условиями задача.
Отметим [12], что в виде (0.1) можно записать многие актуальные классы квазилинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегродифференциальных, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнение с последействием и других уравнений.
Классические схемы исследования на разрешимость задачи (0.1) используют принципе неподвижной точки Банаха или схему Шаудера. В первом случае необходима липшицевость как оператора F , так и вектора- функционала '. Во втором случае требуется полная непрерывность оператора F. Идея одной из предлагаемых схем опирается на предположение о «конечномерной параметризуемости» множества решений уравнения
Lx = Fx. (0.2)
Уравнение конечномерно параметризуемо, если между множеством решений уравнения и некоторым замкнутым подмножеством конечномерного пространства существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. n - мерная параметризуемость является частным случаем «приводимости» уравнения [12]. (Уравнение (0.2) называется приводимым, если существует такой вполне непрерывный оператор F0 : D ! B, что множества решений уравнения (0.2) и уравнения Lx = F0x совпадают). Линейное уравнение приводимо тогда и только тогда, когда множество его решений конечномерно параметризуемо. Впервые понятие приводимости введено Н.В. Азбелевым. Отметим исследования по этому вопросу А.Р. Абдуллаева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова [40-42].
В предположении n - мерной параметризуемости решение уравнения (0.2) имеет представление
x = Ma + Xa,
где оператор M : Rn ! D - непрерывен, X - фундаментальный вектор уравнения Lx = 0, a 2 Rn (фундаментальным назвается вектор X = {xi, • • • , xng, где xi, • • • , xn составляют базис линейного многообразия решений однородного уравнения Lx = 0 [12]). Подставляя представление (0.3) в краевые условия задачи (0.1), получаем уравнение
'(Ma + Xa) = '(Ma + Xa)
относительно a. И, если найдется a, удовлетворяющее полученному уравнению, то задача (0.1) будет иметь решение.
В работе используется схема исследования задачи (0.1),(0.2) на корректную разрешимость приведенная в работах [36,37]. Эта схема реализуемая для сингулярного дифференциального уравнения вида:
^(t)x + fix = f (t, x).
Краевые задачи для уравнения (0.4) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [26]. В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.4).
В работе изучается разрешимость краевых задач для сингулярного уравнения
^(t)x(t) + flX(t) = f (t,x(t)) (0.5)
Полученные здесь утверждения основаны на применении общей схемы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач. Вопрос о разрешимости различных краевых задач для уравнения (0.5) изучался многими авторами [1,33]. Известные подходы в изучении сингулярных уравнений условно можно отнести к двум направлениям: классический [8], основанный на использовании метода априорных оценок и неравенств, и подход, основанный на идеях теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений [9], где конструируется специальное пространство решений, и используется факт изоморфности данного пространства и прямого произведения некоторого банахова пространства и Rn. Отметим такие работы, использующие построение специальных пространств для сингулярных произведений как [5,8,17]
Отметим, что краевые задачи для уравнения (0.5) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [9], или при описании формы свободной поверхности осесимметричного слоя жидкости с учетом массовых сил и поверхностного натяжения [8]. Так, в работах [13,15,16,18] рассматривается уравнение
X + X + 7 exp ( — J = 0
t у x + ту
0 < t < 1, ft0 > 0, т > 0. Оно возникает в теории химических реакций. x - безразмерная температура, fl0 exp уду) - некоторая «скорость реакции». Уравнение (0.6) является частным случаем уравнения (0.5).
В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.5).
Цель работы. Исследование условий разрешимости квазилинейных краевых задач с гладкими нелинейностями в уравнении или краевых условиях. Получение эффективных признаков разрешимости некоторых конкретных классов краевых задач для сингулярных уравнений.
Условимся обозначать доказательство внутри символов < ... >.
В заключении отметим, что полученные в работе достаточные признаки разрешимости краевых задач для сингулярного дифференциального уравнения (0.5) оказываются менее жестким, чем при непосредственной применимости схемы Шаудера.
