📄Работа №197830
Тема: РЕСУРСНЫЕ СИСТЕМЫ ВИДА ММРР(А(Х))/А(СХ)/оо
Тип работы
Магистерская диссертация
Предмет
информатика
Объем:
56 листов
Год:
2018
Просмотров:
37
4850
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
ВВЕДЕНИЕ 7
1 Методы исследования ресурсных систем массового обслуживания больших
данных 11
1.1 Исследование суммарного объема сообщений в однолинейной системе
массового обслуживания с групповым поступлением с помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса 11
1.2 Определение характеристик суммарного объема в системе с бесконечным
числом приборов с помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса 14
1.3 Исследование математической модели накопленного объема требований в
системе M|GI|OTс помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса 16
1.4 Исследование суммарного объема требований в бесконечнолинейной системе
массового обслуживания вида M|GI|OT 17
1.5 Исследование бесконечнолинейной СМО MAP|GI|OTс заявками случайного
объема методом асимптотического анализа 19
1.6 Исследование системы массового обслуживания с ограниченными ресурсами и
сигналами для анализа показателей эффективности беспроводных сетей 21
2 Исследование ресурсной системы массового обслуживания вида M|GI|OTметодом
моментов 24
2.1 Постановка задачи 24
2.2 Дифференциальные уравнения Колмогорова 25
2.3 Нахождение моментов различных порядков числа занятых приборов и полной
суммы объемов требований в системе M|GI|OT 27
2.4 Численные примеры 29
Пример 1 (экспоненциальное распределение) 29
Пример 2 (равномерное распределение) 30
3 Исследование бесконечнолинейной системы массового обслуживания вида
MMPP|GI| от с пропорциональным объему временем обслуживания 32
3.1 Постановка задачи 32
3.2 Дифференциальные уравнения Колмогорова 33
3.3 Нахождение моментов различных порядков числа занятых приборов и полной
суммы объемов требований в системе MMPP |GI |от 35
3.4 Асимптотический анализ 39
3.4.1 Асимптотика первого порядка 39
3.4.2 Асимптотика второго порядка 41
3.5 Численный пример 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
ЛИТЕРАТУРА 50
1 Методы исследования ресурсных систем массового обслуживания больших
данных 11
1.1 Исследование суммарного объема сообщений в однолинейной системе
массового обслуживания с групповым поступлением с помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса 11
1.2 Определение характеристик суммарного объема в системе с бесконечным
числом приборов с помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса 14
1.3 Исследование математической модели накопленного объема требований в
системе M|GI|OTс помощью преобразования Лапласа-Стилтьеса 16
1.4 Исследование суммарного объема требований в бесконечнолинейной системе
массового обслуживания вида M|GI|OT 17
1.5 Исследование бесконечнолинейной СМО MAP|GI|OTс заявками случайного
объема методом асимптотического анализа 19
1.6 Исследование системы массового обслуживания с ограниченными ресурсами и
сигналами для анализа показателей эффективности беспроводных сетей 21
2 Исследование ресурсной системы массового обслуживания вида M|GI|OTметодом
моментов 24
2.1 Постановка задачи 24
2.2 Дифференциальные уравнения Колмогорова 25
2.3 Нахождение моментов различных порядков числа занятых приборов и полной
суммы объемов требований в системе M|GI|OT 27
2.4 Численные примеры 29
Пример 1 (экспоненциальное распределение) 29
Пример 2 (равномерное распределение) 30
3 Исследование бесконечнолинейной системы массового обслуживания вида
MMPP|GI| от с пропорциональным объему временем обслуживания 32
3.1 Постановка задачи 32
3.2 Дифференциальные уравнения Колмогорова 33
3.3 Нахождение моментов различных порядков числа занятых приборов и полной
суммы объемов требований в системе MMPP |GI |от 35
3.4 Асимптотический анализ 39
3.4.1 Асимптотика первого порядка 39
3.4.2 Асимптотика второго порядка 41
3.5 Численный пример 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
ЛИТЕРАТУРА 50
📖 Введение
Актуальность и степень разработанности темы исследования. В условиях современного информационного бума необычайно важно иметь возможность быстрого доступа к информации различного рода. Такое положение естественно приводит к необходимости разработки различных систем вероятностной природы, передающих и обрабатывающих информацию. В качестве примеров можно назвать сети связи, разнообразные вычислительные системы и сети, системы передачи данных и др.
Разработка и проектирование таких систем, в свою очередь, требует математического анализа некоторых обобщенных вероятностных моделей, достаточно адекватно описывающих процесс их функционирования. Действительно, в общем случае каждую из подобных систем можно интерпретировать как некоторый механизм обработки требований, сообщений или заявок, образующих случайный поток.
Эти рассуждения приводят нас к заключению, что наиболее приемлемым математическим аппаратом описания и исследования подобных систем является теория массового обслуживания.
Цель теории массового обслуживания - выработка рекомендаций по рациональному построению систем массового обслуживания (СМО), рациональной организации их работы и регулирования потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее параметров: характера потока заявок, числа работающих приборов и их производительности и правил работы СМО.
Первые положения теории массового обслуживания предложил А.К. Эрланг [57,58]. Изучив работу телефонной станции, он разработал формулу, теперь известную как «формула Эрланга». Хотя модель Эрланга является простой, математика, лежащая в основе современных сложных телефонных сетей, по-прежнему основана на его работе. Его исследования дали толчок к дальнейшему развитию теории. В настоящее время системы массового обслуживания имеют приложение к таким областям как: телефонная сотовая связь [10,46,57,58,52], теория телетрафика [4-6], колл-центры [47,48], социально-экономические модели [1-2,11-12,15,19,24,31], системы управления транспортными потоками [3,14,16,45,50] и т.д.
Первые результаты для бесконечнолинейных систем массового обслуживания были получены еще в середине прошлого века [41,49]. Однако интерес к таким системам сохраняется и в наши дни. Системы с бесконечным числом обслуживающих приборов применяются в процессах иммиграции [56], в финансовых моделях[39], в телекоммуникационных сетях[1] и т.д. Кроме того, модели с неограниченным числом приборов позволяют оценить возможную загрузку в системе и применять меры по предотвращению перегрузки систем с ограниченным числом приборов и минимизации потерь, вызванных нехваткой свободного канала и/или ресурса.
Задача исследования систем массового обслуживания, в которых каждая поступающая в систему заявка наряду со случайной длиной имеет случайный объем, играет важную роль при моделировании работы самых различных технических устройств, в частности современных информационно-вычислительных систем.
СМО с заявками случайного объема позволяют решать задачи проектирования информационных систем, объектом преобразования в которых является информация, поступающая порциями. Сообщения или заявки обладают различным объемом информации, который представляет собой случайную величину.
Э. Л. Ромм и В. В. Скитович во второй половине XX века впервые сформулировали обобщение задачи Эрланга, где каждое поступающее требование обладает некоторым информационным качеством, которое авторы называют величиной требования, с отказами в обслуживании, когда величина поступающего требования превосходит разность между емкостью СМО и суммой величин требований, находящихся на обслуживании в момент появления нового требования [35].
В дальнейшем, большой вклад в исследование СМО с заявками случайного объема внес Тихоненко О.М. В работе [40] выводится общее соотношение, связывающее первый момент суммарного объема с первым моментом времени ожидания и смешанным моментом длины требования и времени обслуживания. В [41] определяется распределение числа требований в системах обслуживания M/M/n/m, в которых каждое требование обладает некоторой случайной длиной, ограничена полная сумма длин требований, находящихся в системе, время обслуживания не зависит от длины, ограничено время пребывания или ожидании. В [42] для системы О1/М/1/от,в которой длины требований распределены экспоненциально длине обслуживаемого требования, определяется преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарной функции распределения суммарного объема требований.
Ресурсные СМО с ограниченными ресурсами используются в работах К. Е. Самуйлова с коллегами [8-9, 13, 28-30, 36, 37, 53-54] в качестве моделей беспроводных сетей связи следующего поколения. В работе [37] помимо потока заявок в систему поступает поток сигналов, при поступлении которых заявки заново разыгрывают объем занимаемых ресурсов. Некоторые работы А. В. Печинкина с коллегами [17, 32] посвящены исследованию суммарного объема заявок в системах, функционирующих в дискретном времени.
Следует отметить, что реальные потоки современных информационных систем, в основном не являются пуассоновскими. Это привело к созданию новых математических моделей с более сложными входящими потоками. В частности, в качестве существенного обобщения простейших потоков для более адекватного описания реальных потоков была предложена модель MAP-потока. Его понятие впервые было введено М. Ньютсом и Д. Лукантони в 1991 году [51,55]. Широко используемым частным случаем MAP-потоков является класс MMP-потоков.
Марковизируемые входящие потоки стали использоваться в исследовании систем с заявками случайного объема. Так в работе [18] исследуется система MAP/GI/от с заявками случайного объема, определяются асимптотические характеристические функции первого и второго порядка в условии растущей интенсивности входящего потока. В работах [33,34] исследуются асимптотические характеристики системы MMPP/M/от с заявками случайного объема в условии растущего времени обслуживания.
Однако аналитических решений задач для бесконечнолинейных СМО с произвольной функцией времени обслуживания, в которых обслуживание заявки пропорционально объему, который она приносит, до сих пор не найдено.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и временем обслуживания пропорциональным объему поступающих заявок.
Цели и задачи исследования. Целью данной работы является построение и исследование математических моделей ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, неэкспоненциальным обслуживанием пропорциональным объему поступающих заявок.
В соответствии с целью поставлены следующие задачи:
• изучить методы исследования систем массового обслуживания с заявками случайного объема;
• провести исследование ресурсной системы массового обслуживания вида M(O)/GI/OTс временем обслуживания пропорциональным объему:
- найти начальные моменты первого и второго порядка для числа занятых приборов и полной суммы объемов требований, находящихся в системе;
- исследовать корреляционную зависимость числа занятых приборов и суммарного объема требований;
• провести исследование методом моментов числовых характеристик ресурсной системы массового обслуживания MMPP(O)/GI/OTс временем обслуживания пропорциональным объему;
• провести исследование методом асимптотического анализа при условии растущего времени обслуживания суммарного объема занятого ресурса в СМО MMPP(O)/GI/M;
• провести анализ области применимости асимптотического метода.
Методы исследования. Для проведения диссертационных исследований использовались методы математического моделирования, теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциальных уравнений.
Исследование рассматриваемых ресурсных систем массового обслуживания выполнялось с помощью предложенных в работе методов. Метод динамического просеивания - для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в системе. Для решения составленных уравнений для ресурсных систем с непуассоновскими входящими потоками применялся метод асимптотического анализа [26-27] в условии растущего времени обслуживания. Применение метода асимптотического анализа позволяет сделать вывод о том, что в предельном условии стационарные распределения вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в ресурсных системах массового обслуживания с неограниченным числом приборов, непуассоновским входящим потоком и неэкспоненциальным обслуживанием является асимптотически многомерными гауссовскими.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 58 источников. Общий объем работы 55 страниц; иллюстративный материал представлен 12 рисунками, 2 таблицами.
Разработка и проектирование таких систем, в свою очередь, требует математического анализа некоторых обобщенных вероятностных моделей, достаточно адекватно описывающих процесс их функционирования. Действительно, в общем случае каждую из подобных систем можно интерпретировать как некоторый механизм обработки требований, сообщений или заявок, образующих случайный поток.
Эти рассуждения приводят нас к заключению, что наиболее приемлемым математическим аппаратом описания и исследования подобных систем является теория массового обслуживания.
Цель теории массового обслуживания - выработка рекомендаций по рациональному построению систем массового обслуживания (СМО), рациональной организации их работы и регулирования потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее параметров: характера потока заявок, числа работающих приборов и их производительности и правил работы СМО.
Первые положения теории массового обслуживания предложил А.К. Эрланг [57,58]. Изучив работу телефонной станции, он разработал формулу, теперь известную как «формула Эрланга». Хотя модель Эрланга является простой, математика, лежащая в основе современных сложных телефонных сетей, по-прежнему основана на его работе. Его исследования дали толчок к дальнейшему развитию теории. В настоящее время системы массового обслуживания имеют приложение к таким областям как: телефонная сотовая связь [10,46,57,58,52], теория телетрафика [4-6], колл-центры [47,48], социально-экономические модели [1-2,11-12,15,19,24,31], системы управления транспортными потоками [3,14,16,45,50] и т.д.
Первые результаты для бесконечнолинейных систем массового обслуживания были получены еще в середине прошлого века [41,49]. Однако интерес к таким системам сохраняется и в наши дни. Системы с бесконечным числом обслуживающих приборов применяются в процессах иммиграции [56], в финансовых моделях[39], в телекоммуникационных сетях[1] и т.д. Кроме того, модели с неограниченным числом приборов позволяют оценить возможную загрузку в системе и применять меры по предотвращению перегрузки систем с ограниченным числом приборов и минимизации потерь, вызванных нехваткой свободного канала и/или ресурса.
Задача исследования систем массового обслуживания, в которых каждая поступающая в систему заявка наряду со случайной длиной имеет случайный объем, играет важную роль при моделировании работы самых различных технических устройств, в частности современных информационно-вычислительных систем.
СМО с заявками случайного объема позволяют решать задачи проектирования информационных систем, объектом преобразования в которых является информация, поступающая порциями. Сообщения или заявки обладают различным объемом информации, который представляет собой случайную величину.
Э. Л. Ромм и В. В. Скитович во второй половине XX века впервые сформулировали обобщение задачи Эрланга, где каждое поступающее требование обладает некоторым информационным качеством, которое авторы называют величиной требования, с отказами в обслуживании, когда величина поступающего требования превосходит разность между емкостью СМО и суммой величин требований, находящихся на обслуживании в момент появления нового требования [35].
В дальнейшем, большой вклад в исследование СМО с заявками случайного объема внес Тихоненко О.М. В работе [40] выводится общее соотношение, связывающее первый момент суммарного объема с первым моментом времени ожидания и смешанным моментом длины требования и времени обслуживания. В [41] определяется распределение числа требований в системах обслуживания M/M/n/m, в которых каждое требование обладает некоторой случайной длиной, ограничена полная сумма длин требований, находящихся в системе, время обслуживания не зависит от длины, ограничено время пребывания или ожидании. В [42] для системы О1/М/1/от,в которой длины требований распределены экспоненциально длине обслуживаемого требования, определяется преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарной функции распределения суммарного объема требований.
Ресурсные СМО с ограниченными ресурсами используются в работах К. Е. Самуйлова с коллегами [8-9, 13, 28-30, 36, 37, 53-54] в качестве моделей беспроводных сетей связи следующего поколения. В работе [37] помимо потока заявок в систему поступает поток сигналов, при поступлении которых заявки заново разыгрывают объем занимаемых ресурсов. Некоторые работы А. В. Печинкина с коллегами [17, 32] посвящены исследованию суммарного объема заявок в системах, функционирующих в дискретном времени.
Следует отметить, что реальные потоки современных информационных систем, в основном не являются пуассоновскими. Это привело к созданию новых математических моделей с более сложными входящими потоками. В частности, в качестве существенного обобщения простейших потоков для более адекватного описания реальных потоков была предложена модель MAP-потока. Его понятие впервые было введено М. Ньютсом и Д. Лукантони в 1991 году [51,55]. Широко используемым частным случаем MAP-потоков является класс MMP-потоков.
Марковизируемые входящие потоки стали использоваться в исследовании систем с заявками случайного объема. Так в работе [18] исследуется система MAP/GI/от с заявками случайного объема, определяются асимптотические характеристические функции первого и второго порядка в условии растущей интенсивности входящего потока. В работах [33,34] исследуются асимптотические характеристики системы MMPP/M/от с заявками случайного объема в условии растущего времени обслуживания.
Однако аналитических решений задач для бесконечнолинейных СМО с произвольной функцией времени обслуживания, в которых обслуживание заявки пропорционально объему, который она приносит, до сих пор не найдено.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и временем обслуживания пропорциональным объему поступающих заявок.
Цели и задачи исследования. Целью данной работы является построение и исследование математических моделей ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, неэкспоненциальным обслуживанием пропорциональным объему поступающих заявок.
В соответствии с целью поставлены следующие задачи:
• изучить методы исследования систем массового обслуживания с заявками случайного объема;
• провести исследование ресурсной системы массового обслуживания вида M(O)/GI/OTс временем обслуживания пропорциональным объему:
- найти начальные моменты первого и второго порядка для числа занятых приборов и полной суммы объемов требований, находящихся в системе;
- исследовать корреляционную зависимость числа занятых приборов и суммарного объема требований;
• провести исследование методом моментов числовых характеристик ресурсной системы массового обслуживания MMPP(O)/GI/OTс временем обслуживания пропорциональным объему;
• провести исследование методом асимптотического анализа при условии растущего времени обслуживания суммарного объема занятого ресурса в СМО MMPP(O)/GI/M;
• провести анализ области применимости асимптотического метода.
Методы исследования. Для проведения диссертационных исследований использовались методы математического моделирования, теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциальных уравнений.
Исследование рассматриваемых ресурсных систем массового обслуживания выполнялось с помощью предложенных в работе методов. Метод динамического просеивания - для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в системе. Для решения составленных уравнений для ресурсных систем с непуассоновскими входящими потоками применялся метод асимптотического анализа [26-27] в условии растущего времени обслуживания. Применение метода асимптотического анализа позволяет сделать вывод о том, что в предельном условии стационарные распределения вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в ресурсных системах массового обслуживания с неограниченным числом приборов, непуассоновским входящим потоком и неэкспоненциальным обслуживанием является асимптотически многомерными гауссовскими.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 58 источников. Общий объем работы 55 страниц; иллюстративный материал представлен 12 рисунками, 2 таблицами.
✅ Заключение
В настоящей магистерской диссертации представлено исследование математических моделей ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, неэкспоненциальным обслуживанием пропорциональным объему поступающих заявок, а именно:
• изучены методы исследования систем массового обслуживания с заявками случайного объема;
• проведено исследование ресурсной системы массового обслуживания вида M(O)/GI/OTс временем обслуживания пропорциональным объему:
- найдены начальные моменты первого и второго порядка для числа занятых приборов и полной суммы объемов требований, находящихся в системе;
- исследована корреляционная зависимость числа занятых приборов и суммарного объема требований;
• проведено исследование методом моментов числовых характеристик
ресурсной системы массового обслуживания MMPP(O)/GI/OT с временем обслуживания пропорциональным объему;
• проведено исследование методом асимптотического анализа при условии растущего времени обслуживания суммарного объема занятого ресурса в СМО MMPP(O)/GI/OT;
• проведен анализ области применимости асимптотического метода.
По результатам магистерской диссертации сделан доклад на VI Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем»: 24-26 мая 2018 г. Томск // Сеченова С.А., Исследование системы MMPP|GI|от методом моментов.
Подготовлены и приняты к публикации следующие статьи:
1) Сеченова С.А., Исследование системы массового обслуживания вида M/GI/OTс пропорциональным объему временем обслуживания/ С.А. Сеченова, Т.В. Бушкова //Материалы VIII Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» памяти А.М. Богомолова: 2-3 июля 2018 г. Саратов;
2) Сеченова С.А., Исследование системы MMPP|GI|OTметодом асимптотического анализа/ С.А. Сеченова // Материалы XVII Международной конференции имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» ИТММ - 2018, 10-15 сентября г. Томск;
4) Сеченова С.А., Гауссовская аппроксимация суммарного объема в ресурсной системе MMPP/GI/OT// С.А. Сеченова, Т.В. Бушкова //Материалы XXI Международной 48
конференции «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети»: 17-21 сентября 2018 г. Москва.
• изучены методы исследования систем массового обслуживания с заявками случайного объема;
• проведено исследование ресурсной системы массового обслуживания вида M(O)/GI/OTс временем обслуживания пропорциональным объему:
- найдены начальные моменты первого и второго порядка для числа занятых приборов и полной суммы объемов требований, находящихся в системе;
- исследована корреляционная зависимость числа занятых приборов и суммарного объема требований;
• проведено исследование методом моментов числовых характеристик
ресурсной системы массового обслуживания MMPP(O)/GI/OT с временем обслуживания пропорциональным объему;
• проведено исследование методом асимптотического анализа при условии растущего времени обслуживания суммарного объема занятого ресурса в СМО MMPP(O)/GI/OT;
• проведен анализ области применимости асимптотического метода.
По результатам магистерской диссертации сделан доклад на VI Международной молодежной научной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем»: 24-26 мая 2018 г. Томск // Сеченова С.А., Исследование системы MMPP|GI|от методом моментов.
Подготовлены и приняты к публикации следующие статьи:
1) Сеченова С.А., Исследование системы массового обслуживания вида M/GI/OTс пропорциональным объему временем обслуживания/ С.А. Сеченова, Т.В. Бушкова //Материалы VIII Международной научной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» памяти А.М. Богомолова: 2-3 июля 2018 г. Саратов;
2) Сеченова С.А., Исследование системы MMPP|GI|OTметодом асимптотического анализа/ С.А. Сеченова // Материалы XVII Международной конференции имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» ИТММ - 2018, 10-15 сентября г. Томск;
4) Сеченова С.А., Гауссовская аппроксимация суммарного объема в ресурсной системе MMPP/GI/OT// С.А. Сеченова, Т.В. Бушкова //Материалы XXI Международной 48
конференции «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети»: 17-21 сентября 2018 г. Москва.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.