Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЗАПИСЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В РАЗЛИЧНЫХ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ КАК ОСНОВА ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ИЗУЧЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ

Понятие целого числа является одним из основополагающих и стрежневых понятий математического образования на всех его стадиях. Практически любой раздел математики в той или иной мере связан с целыми числами. Ведь на фундаменте свойств целых чисел строятся системы рациональных, а затем и действительных чисел. Параллельно с этим путем замены конкретных чисел на буквы происходит переход к буквенным выражениям, а затем и к функциям.
Одним из важнейших примеров буквенных выражений являются многочлены. Многочлены являются связующим звеном между близким к теории целых и рациональных чисел алгебраическим подходом (т.е. подходом, основанном на рассмотрении свойств арифметических операций) и близким к теории действительных чисел подходом математического анализа (т.е. подходом, основанном на рассмотрении свойств предельного перехода и непрерывности). С этой точки зрения, многочлены играют чрезвычайно важную роль в математическом образовании, так как их изучение поддерживает целостность и неразрывность математических курсов «Математика 5-6 классы», «Алгебра 7-9 классы» и «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы».
Отметим, что многочлены от одной переменной можно интерпретировать не только как буквенные выражения, но и как функции, заданные на множестве всех действительных чисел. Более того, в некотором смысле многочлены от одной переменной с любой заданной точностью позволяют описывать свойства почти любой «достаточно хорошей» функции (точнее, многочлен Тейлора в окрестности заданной точки сходится к бесконечно дифференцируемой функции).
Можно сказать, что как целые числа являются основой для изучения других числовых систем, так же и многочлены являются основой для изучения других функций. Существующая логическая связь между целыми
числами и многочленами от одной переменной находит отражение в схожести многих терминов и теорем, связанных с этими математическими объектами.
Для более детальной проработки этой идеи необходимо остановится на вопросе о том, как организован процесс изучения целых (и в частности, натуральных) чисел в современной российской системе образования.
Знакомство с натуральными числами происходит еще в дошкольный этап развития ребенка. В начальной школе понятие натурального числа вводится более системно, а именно, изучаются поразрядная запись числа, сравнение чисел и арифметические действия над ними. Большое внимание уделяется отработке навыка выполнения арифметических действий с помощью специальных алгоритмов (сложение, вычитание и умножение «в столбик», деление «уголком»). Освоение школьниками этих алгоритмов позволяет им достаточно быстро и эффективно получать верный вычислительный результат.
При изучении данных алгоритмов в начальной школе, как правило, не затрагивается вопрос о том, на чем основаны эти способы вычислений. Методически такой подход можно признать оправданным, так как большинству младших школьников трудно проводить рассуждения общего характера, и поэтому попытка строгого логического обоснования алгоритмов скорее всего не найдет отклика у детей.
При переходе же в среднее звено ученики сталкиваются с тем, что учителя математики считают вопросы арифметики натуральных чисел уже пройденным этапом, и вычислительные навыки при этом являются лишь инструментом, необходимым для решения более сложных задач. Поэтому в средней и старшей школе проблема обоснования алгоритмов выполнения арифметических действий так же, как правило, не обсуждается.
Отметим, что способ сложения и вычитания «в столбик» интуитивно понятен учащимся любого возраста, как поразрядное сложение и вычитание. Понимания же смысла умножения «в столбик» и, тем более, деления «уголком» нет не только у младших школьников, но и у большинства учеников старших классов.
Каким же образом можно восполнить данный пробел в знаниях учащихся? Одним из возможных вариантов представляется введение в курс обучения школьников 5-8 классов задач, способствующих пониманию ими сути десятичной записи натуральных чисел, записи чисел в других позиционных системах счисления, правил выполнения арифметических операций над числами в различных системах счисления.
Таким образом, целями данной работы являются:
• создание банка задач по темам «Десятичная запись натуральных чисел» и «Позиционные системы счисления»;
• разработка факультативного курса, посвященного десятичной и недесятичным позиционным системам счисления;
• разработка методики обоснования стандартных алгоритмов выполнения арифметических действий над целыми числами и над многочленами от одной переменной.

Купить

Задачи, при решении которых существенно используются свойства десятичной записи чисел, достаточно часто встречаются на математических конкурсах, викторинах и олимпиадах. Так же они входят в КИМ базового и профильного ЕГЭ. Таким образом, более системное изучение различных позиционных систем счисления может стимулировать интерес школьников к математике и способствовать как их успешному выступлению на различных конкурсах и конференциях, так и сдаче ГИА.
Эпизодически задачи на десятичную запись натуральных чисел можно найти и в стандартных школьных учебниках, как дополнительные задачи повышенного уровня сложности. Задачи же, связанные со свойствами недесятичных систем счисления, крайне редки не только на обычных уроках математики, но и на факультативах по «олимпиадной математике».
Парадоксально, но факт: определения позиционных систем счисления нет в учебниках по математике, зато оно присутствует в учебниках по информатике и ИКТ! Правда, там излагаются, в основном, только правила работы с числами в двоичной и родственных ей системах счисления.
Нельзя не отметить, что знание систем счисления приводит к более глубокому пониманию понятия числа (например, делимость числа на три - это свойство числа, а делимость суммы цифр на три - это свойство цифровой записи числа; эти свойства равносильны не во всех системах счисления).
Материалы, представленные в работе, могут быть использованы как на основных и дополнительных уроках математики, так и на уроках информатики. Это позволяет говорить о метапредметности курса.
Для повышения качества обучения в каждый раздел включены методические рекомендации по обучению решения предлагаемых задач. Это должно помочь учителю более эффективно использовать материалы работы.

Купить