Тема: СВОЙСТВА МОДИФИЦИРОВАННЫХ ОЦЕНОК СРЕДНИХ ПРИ КОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ НАБЛЮДЕНИЙ

В современном обществе все чаще возникает необходимость построения статистических оценок реальных систем с целью повышения их точности, определением уровня надежности систем, подсистем, элементов. Как правило, при построении статистических оценок у исследователя отсутствует информация о распределении случайных величин, о видах функционалов, что заведомо усложняет работу. Для решения такого рода задач с высоким уровнем достоверности возникает необходимость привлечения дополнительной (априорной) информации с использованием методов, существующих в математической статистике.
Задачи статистической обработки экспериментальных данных включают в себя оценки линейной функции случайного распределения. Линейные функции представлены в виде определенных числовых (вероятностных) характеристик наблюдаемой случайной величины. Решение таких задач сводится к нахождению значений этих функционалов по результатам проводимых экспериментов. Подстановка вероятностного распределения в функционал определяет его значение, но обычно это распределение неизвестно, поэтому его приходится оценивать по выборке и заменять реальное распределение эмпирическим.
Стремление улучшить качество оценки приводит к необходимости использования не только экспериментальных данных, но и дополнительной (априорной) информации об оцениваемом распределении. Эти знания, составляющие априорную информацию, могут быть различными, они могут включать средний возраст, средняя заработная плата на предприятии, количество брака в партии и.т.д., а также различные их комбинации. Источниками этих данных могут быть результаты ранее проводимых исследований, мнение эксперта, опыт исследователя, физические соображения. Возникает проблема правильного использования имеющейся информации для повышения качества оценки. Зачастую эта информация неполная, неточная, неоднозначная, что усложняет ее использование.
Таким образом, на практике возникает задача использования и учета различного содержания априорной информации.
В работах [1-6] предложены адаптивные комбинированные оценки, учитывающие совместно непараметрическую оценку функционала и априорную догадку, а также исследованы их асимптотические свойства. В [7,8] используется дополнительная информация, связанная с известной вспомогательной переменной, при оценке дисперсии. В [9] используется дополнительная информация для построения сглаженных эмпирических доверительных интервалов для квантилей параметров регрессии. В [10] дополнительная информация используется для определения общего порядка оценки населения, где среднее значение варьируется на основе двойной выборки.
Априорная информация нашла широкое применение в практической деятельности предприятий, организаций. Применение априорной обработки информации позволяет уменьшить число наблюдений для построения моделей. В работе [11] рассмотрены статистические пакеты, которые могут быть использованы для обработки статистической информации на предприятии. В работе [21] исследованы вопросы поведения выигрыша в точности построенной оценки за счет использования априорной информации для уникальных объектов.
Так же априорная информация нашла применение и в социологии. Возможность обойтись малым числом опрошенных и получить необходимую информацию, несмотря на сложность и ограничения, выглядит привлекательной для многих исследователей.
В работах [1,3,13] представлены адаптивные комбинированные оценки, учитывающие совместно априорную догадку и непараметрическую оценку функционала. Комбинированные оценки нашли широкое применение при работе с нейронными сетями [14]. Благодаря комбинированным оценкам и новому подходу, результаты имеют лучшую производительность и улучшают уровень сходимости.
В [15] был предложен метод оценивания вероятностных характеристик, использующий результаты, полученные в ходе испытаний и априорную информацию, полученную в ходе теоретических исследований и статистического моделирования.
Исследуем свойства оценки линейного функционала в виде математического ожидания при конечных объемах наблюдений.
Так как априорная информация может быть любого содержания, также рассмотрим представление априорной информации в виде доли объектов, которые обладают конкретным значением признака, и построим комбинированную оценку, используя подход, предложенный в [12, 16-19]. При этом в качестве априорной информации будем использовать информацию о качественном признаке, который обладает некоторым заданным значением.
В работе [20] рассмотрен аналогичный метод, в основе которого исследователь выдвигает предположение о значении искомой доли на основании имеющегося опыта и знаний.
Купить

В данной магистерской выпускной квалификационной работе был предложен и изучен метод учета априорной (дополнительной) информации о доле объектов, обладающих конкретным значением, а также рассмотрена задача о построении комбинированной оценки линейного функционала, учитывающей совместно непараметрическую оценку и априорную информацию.
Полученные методы позволили расширить круг априорных (дополнительных) знаний о распределениях случайных величин и число практических задач, решаемых с помощью предложенного метода. На классе линейных оценок получена наилучшая оценка по критерию минимума среднеквадратического отклонения.
Рассмотрена задача оценивания функционала в условиях известной дисперсии и неизвестной. Получены оптимальные оценки весового коэффициента.
Выявлено влияние априорной догадки комбинированной оценки линейного функционала при конечном объеме наблюдений, установлена зависимость величин n,fi,k друг от друга. Все выводы подтверждены численными результатами.
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1. Существуют области значений п, ft, к при которых
комбинированные оценки предпочтительнее по точности, чем обычная оценка;
2. Существуют области значений, при которых обычная оценка предпочтительнее комбинированной оценки;
3. С ростом величины ft уменьшается точность оценок (1.1), тем самым повышается ценность имеющихся наблюдений;
4. Точность комбинированной оценки в соответствии с таблицей 1 выше за счет использования знания дисперсии а2 в оценке весового коэффициента;
5. С увеличением объема наблюдений влияние априорной догадки на точность оценок (1.9) ослабевает, их точность практически совпадает с обычной оценкой.
Выполнено построение оценки вероятностных характеристик и изучено влияние учета априорной информации о доле объектов, обладающих конкретным значением признака. Метод вовлечения априорной информации, базирующийся на использовании доли объектов, с заданным значением некоторого признака, дает выигрыш в виде
m((jW-j)(p-p))2
М(Р - Р)2 '
В результате, был сделан вывод, что ценность полученных данных состоит не только в получении более точных оценок по среднеквадратическому отклонению для различных вероятностных характеристик, но и сокращение объема выборки необходимого для достижения заданной точности оценок. Таким образом, априорная догадка комбинированной оценки оказывает влияние при небольшом количестве наблюдений.
При решении поставленных задач применялись методы математического анализа, математической статистики и имитационного моделирования.
Купить