Помощь студентам в учебе
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ RQ-СИСТЕМ С РАЗНОТИПНЫМИ ВЫЗЫВАЕМЫМИ ЗАЯВКАМИ В РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
|
РЕФЕРАТ 3
ВВЕДЕНИЕ 8
1 RQ-система М/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 11
1.1 Математическая модель RQ-системы М/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.2 Метод характеристических функций. Распределение вероятностей числа заявок
на орбите 13
1.3 Модификации метода асимптотического анализа RQ-систем с разнотипными
вызываемыми заявками 19
1.3.1 Предельное условие согласованно высокой интенсивности вызывания
заявок 19
1.3.2 Предельное условие согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок 25
1.3.3 Предельное условие большой задержки заявок на орбите 27
1.4 Численные примеры 32
1.4.1 Точность аппроксимации распределения вероятностей числа заявок на
орбите в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания 33
1.4.2 Точность аппроксимации распределения вероятностей числа заявок на
орбите в предельном условии согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок 33
1.4.3 Точность аппроксимации распределения вероятностей числа заявок на
орбите в предельном условии большой задержки заявок на орбите ... 34
1.5 Выводы по главе 35
2 Полумарковские модели RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками .... 36
2.1 RQ-система ММРР/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 36
2.1.1 Математическая модель. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 36
2.1.2 Исследование системы в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания заявок 39
2.1.3 Исследование системы в предельном условии согласованно длительного
обслуживания вызываемых заявок 47
2.1.4 Исследование системы в предельном условии большой задержки заявок
на орбите 50
2.2 RQ-система M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками 58
2.2.1 Математическая модель. Метод введения дополнительной переменной. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 58
2.2.2 Исследование системы в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания заявок 61
2.2.3 Исследование системы в предельном условии большой задержки заявок
на орбите 68
2.3 Численные примеры 74
2.3.1 Точность аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на
орбите в RQ-системе ММРР/М/1 74
2.3.2 Точность аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на
орбите в RQ-системе M/GI/1 76
2.4 Выводы по главе 78
3 Метод асимптотически-диффузионного анализа исследования систем массового обслуживания 79
3.1 Алгоритм метода асимптотически-диффузионного анализа на примере RQ-системы
М/М/1 79
3.2 Анализ RQ-систем ММРР/М/1, M/GI/1 86
3.2.1 Метод асимптотически-диффузионного анализа RQ-системы ММРР/М/1
с разнотипными вызываемыми заявками 86
3.2.2 Метод асимптотически-диффузионного анализа RQ-системы M/GI/1 с
разнотипными вызываемыми заявками 93
3.3 Численные примеры 101
3.3.1 Точность диффузионной аппроксимации распределения вероятностей
числа заявок на орбите в RQ-системе М/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 101
3.3.2 Точность диффузионной аппроксимации распределения вероятностей
числа заявок на орбите в RQ-системе ММРР/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 102
3.3.3 Точность диффузионной аппроксимации распределения вероятностей
числа заявок на орбите в RQ-системе M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками 104
3.4 Выводы по главе 105
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 107
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 107
ВВЕДЕНИЕ 8
1 RQ-система М/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 11
1.1 Математическая модель RQ-системы М/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 11
1.2 Метод характеристических функций. Распределение вероятностей числа заявок
на орбите 13
1.3 Модификации метода асимптотического анализа RQ-систем с разнотипными
вызываемыми заявками 19
1.3.1 Предельное условие согласованно высокой интенсивности вызывания
заявок 19
1.3.2 Предельное условие согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок 25
1.3.3 Предельное условие большой задержки заявок на орбите 27
1.4 Численные примеры 32
1.4.1 Точность аппроксимации распределения вероятностей числа заявок на
орбите в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания 33
1.4.2 Точность аппроксимации распределения вероятностей числа заявок на
орбите в предельном условии согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок 33
1.4.3 Точность аппроксимации распределения вероятностей числа заявок на
орбите в предельном условии большой задержки заявок на орбите ... 34
1.5 Выводы по главе 35
2 Полумарковские модели RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками .... 36
2.1 RQ-система ММРР/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 36
2.1.1 Математическая модель. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 36
2.1.2 Исследование системы в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания заявок 39
2.1.3 Исследование системы в предельном условии согласованно длительного
обслуживания вызываемых заявок 47
2.1.4 Исследование системы в предельном условии большой задержки заявок
на орбите 50
2.2 RQ-система M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками 58
2.2.1 Математическая модель. Метод введения дополнительной переменной. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 58
2.2.2 Исследование системы в предельном условии согласованно высокой интенсивности вызывания заявок 61
2.2.3 Исследование системы в предельном условии большой задержки заявок
на орбите 68
2.3 Численные примеры 74
2.3.1 Точность аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на
орбите в RQ-системе ММРР/М/1 74
2.3.2 Точность аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок на
орбите в RQ-системе M/GI/1 76
2.4 Выводы по главе 78
3 Метод асимптотически-диффузионного анализа исследования систем массового обслуживания 79
3.1 Алгоритм метода асимптотически-диффузионного анализа на примере RQ-системы
М/М/1 79
3.2 Анализ RQ-систем ММРР/М/1, M/GI/1 86
3.2.1 Метод асимптотически-диффузионного анализа RQ-системы ММРР/М/1
с разнотипными вызываемыми заявками 86
3.2.2 Метод асимптотически-диффузионного анализа RQ-системы M/GI/1 с
разнотипными вызываемыми заявками 93
3.3 Численные примеры 101
3.3.1 Точность диффузионной аппроксимации распределения вероятностей
числа заявок на орбите в RQ-системе М/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 101
3.3.2 Точность диффузионной аппроксимации распределения вероятностей
числа заявок на орбите в RQ-системе ММРР/М/1 с разнотипными вызываемыми заявками 102
3.3.3 Точность диффузионной аппроксимации распределения вероятностей
числа заявок на орбите в RQ-системе M/GI/1 с разнотипными вызываемыми заявками 104
3.4 Выводы по главе 105
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 107
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 107
В настоящее время все больше обслуживающих сервисов частично или полностью работают в режиме call-центра. Банки используют call-центры для консультирования клиентов и для рекламы своих услуг, онлайн-магазины - для уточнения и подтверждения заказов, также call-центры существуют независимо для проведения социальных опросов.
Моделированию call-центров посвящено немало научных работ. Статья [37] посвящена качеству обслуживания клиентов в телефонных сервисах. В работе [24] авторы представляют исследование моделей потоков входящих звонков в реальных call-центрах. Статистический анализ работы call-центров с учетом различных аспектов функционирования сервиса представлены в исследовании [61].
В то же время появились работы, посвященные моделированию call-центров как систем массового обслуживания [40, 43, 62, 26, 56, 12, 1]. В качестве моделей call-центра были предложены одно- и многолинейные системы массового обслуживания с очередью или без очереди. Стохастическому моделированию телекоммуникационных, компьютерных и телефонных систем и сетей посвящены следующие работы [64, 63, 8, 14, 11].
Однако, эти модели не учитывали такую особенность поведения клиентов в реальных call-центрах как повторные звонки. В терминах теории массового обслуживания такое поведение называется повторным обращением к прибору, а системы с данной особенностью называют RQ-системами или системами с орбитой. В работе [38] авторы указывают на значимость повторных обращений при моделировании телефонных обслуживающих центров. Исследование RQ-систем является обширным разделом теории массового обслуживания. Наиболее подробно ознакомиться с исследованиями в данной области можно в работах [35, 20, 18, 19, 66].
В работе [25] впервые предлагается использование смешанного call-центра, где оператор может как принимать звонки, так и инициировать звонки сам. Таким образом предлагается сократить время простоя операторов и повысить эффективность работы всей системы.
Для моделей смешанных call-центров характерно наличие в системе заявок нескольких типов, так как не всегда поступающие звонки и звонки, совершаемые оператором, имеют одинаковые характеристики длительности. В качестве моделей таких систем были представлены RQ-системы с приоритетами пользователей или несколькими входящими потоками [36, 27, 7].
С другой стороны альтернативная занятость оператора может быть связана не только с совершением звонков, таким образом, в качестве моделей оператора call-центра могут выступать RQ-системы с прогулками [65, 39, 34, 42, 59]. В таких системах прибор может прерывать обслуживание поступающих заявок. Время простоя называют прогулкой и при моделировании оператора call-центра роль прогулки играет альтернативная занятость прибора.
В последнее время в качестве модели оператора смешанного call-центра используются RQ-системы с вызываемыми заявками. Данные модели отличаются тем, что во время простоя прибор вызывает заявки извне и обслуживает их наряду с заявками, поступающими из входящего потока. Вызываемая заявка здесь может быть и звонком оператора клиенту, и любым другим видом альтернативной занятости оператора. Таким образом, модели RQ-систем с вызываемыми заявками являются более гибкими, чем вышеописанные системы, и позволяют моделировать большинство современных телефонных сервисов.
Исследованию RQ-систем с вызываемыми заявками посвящено немалое количество современных исследований. В работе [21] авторы предлагают исследование марковской модели RQ-системы с вызываемыми заявками и разрабатывают рекуррентный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите. В статьях [54, 55] предлагаются марковские модели многолинейных RQ-систем с вызываемыми заявками, исследование которых проводится методами векторно-матричной алгебры.
В работах [22, 58] исследуется модель RQ-системы с вызываемыми заявками вида M/GI/1, где авторы находят совместное распределение числа заявок на орбите и состояния прибора с помощью рекуррентных и асимптотических методов.
В статьях [17, 45] авторы предлагают модели RQ-систем с вызываемыми заявками с постоянной частотой повторных обращений заявок с орбиты. Эти исследования также представляют интерес, так как стандартно рассматриваются RQ-системы, где частота повторных обращений зависит от числа заявок на орбите.
Также для RQ-систем с вызываемыми заявками было предложено такое условие функционирования, как ограниченное число внешних источников. В таких системах каждый источник генерирует поток запросов к прибору, однако прерывает создание новых запросов на время, когда прибор обслуживает заявку данного источника [33, 32, 28, 50].
Наряду с этим, рассматриваются RQ-системы с вызываемыми заявками, в которых присутствуют несколько типов вызываемых заявок. В работах [31, 30] рассматриваются RQ- системы с двумя типами вызываемых заявок. Заявки первого типа вызываются прибором из орбиты, а заявки второго типа вызываются извне. В [57] была рассмотрена марковская RQ-система с двумя типами вызываемых заявок, с помощью рекуррентных соотношений получена производящая функция числа заявок на орбите.
Также представляют интерес модели RQ-систем с вызываемыми заявками и ненадежным прибором, где обслуживающее устройство может выходить из строя и восстанавливается в течение случайного времени. Статьи [53, 48, 41] посвящены анализу RQ-систем с данной модификацией.
Кроме исследования RQ-систем с вызываемыми заявками с целью получить характеристики функционирования системы, представляют интерес исследования направленные на оптимизацию работы системы. Так в работе [16] авторы предлагают алгоритм получения оптимальных интенсивностей вызывания и длительности обслуживания вызываемых заявок в смысле минимума числа заявок на орбите. Также авторы вводят такую характеристику как стоимость работы системы и рассматривают оптимизационную задачу минимизации стоимости работы системы.
Для исследования RQ-систем с вызываемыми заявками используются различные методы. Большинство моделей данной конфигурации не удается исследовать аналитически, поэтому зачастую применяются численные методы или методы имитационного моделирования. Имитационному моделированию систем и сетей массового обслуживания посвящены следующие работы [10, 9, 13, 29].
Однако, для исследования систем с вызываемыми заявками также можно применить методы асимптотического анализа, позволяющие получить характеристики системы при выполнении некоторого асимптотического условия. В работах [46, 58] методами асимптотического анализа исследуются марковские RQ-системы с вызываемыми заявками. Также были исследованы модели RQ-систем с вызываемыми заявками с марковски модулированным пуассоновским входящим потоком [47, 49]. Исследованию специальных потоков событий методами асимптотического анализа посвящена работа [15].
В настоящей работе рассматриваются RQ-системы с разнотипными вызываемыми заявками вида M/M/1, M/GI/1 и ММРР/М/1. В качестве методов исследования выступают методы асимптотического анализа, а также метод асимптотически-диффузионного анализа [44].
Актуальность работы подтверждается стремительным развитием области приложения исследования, а также несомненным интересом ученых к данной научной проблеме.
Научная новизна исследования заключается в том, что модели, предложенные в работе, не были изучены ранее. Также были разработаны модификации методов асимптотического и асимптотически-диффузионного анализа для изучения RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками.
Моделированию call-центров посвящено немало научных работ. Статья [37] посвящена качеству обслуживания клиентов в телефонных сервисах. В работе [24] авторы представляют исследование моделей потоков входящих звонков в реальных call-центрах. Статистический анализ работы call-центров с учетом различных аспектов функционирования сервиса представлены в исследовании [61].
В то же время появились работы, посвященные моделированию call-центров как систем массового обслуживания [40, 43, 62, 26, 56, 12, 1]. В качестве моделей call-центра были предложены одно- и многолинейные системы массового обслуживания с очередью или без очереди. Стохастическому моделированию телекоммуникационных, компьютерных и телефонных систем и сетей посвящены следующие работы [64, 63, 8, 14, 11].
Однако, эти модели не учитывали такую особенность поведения клиентов в реальных call-центрах как повторные звонки. В терминах теории массового обслуживания такое поведение называется повторным обращением к прибору, а системы с данной особенностью называют RQ-системами или системами с орбитой. В работе [38] авторы указывают на значимость повторных обращений при моделировании телефонных обслуживающих центров. Исследование RQ-систем является обширным разделом теории массового обслуживания. Наиболее подробно ознакомиться с исследованиями в данной области можно в работах [35, 20, 18, 19, 66].
В работе [25] впервые предлагается использование смешанного call-центра, где оператор может как принимать звонки, так и инициировать звонки сам. Таким образом предлагается сократить время простоя операторов и повысить эффективность работы всей системы.
Для моделей смешанных call-центров характерно наличие в системе заявок нескольких типов, так как не всегда поступающие звонки и звонки, совершаемые оператором, имеют одинаковые характеристики длительности. В качестве моделей таких систем были представлены RQ-системы с приоритетами пользователей или несколькими входящими потоками [36, 27, 7].
С другой стороны альтернативная занятость оператора может быть связана не только с совершением звонков, таким образом, в качестве моделей оператора call-центра могут выступать RQ-системы с прогулками [65, 39, 34, 42, 59]. В таких системах прибор может прерывать обслуживание поступающих заявок. Время простоя называют прогулкой и при моделировании оператора call-центра роль прогулки играет альтернативная занятость прибора.
В последнее время в качестве модели оператора смешанного call-центра используются RQ-системы с вызываемыми заявками. Данные модели отличаются тем, что во время простоя прибор вызывает заявки извне и обслуживает их наряду с заявками, поступающими из входящего потока. Вызываемая заявка здесь может быть и звонком оператора клиенту, и любым другим видом альтернативной занятости оператора. Таким образом, модели RQ-систем с вызываемыми заявками являются более гибкими, чем вышеописанные системы, и позволяют моделировать большинство современных телефонных сервисов.
Исследованию RQ-систем с вызываемыми заявками посвящено немалое количество современных исследований. В работе [21] авторы предлагают исследование марковской модели RQ-системы с вызываемыми заявками и разрабатывают рекуррентный алгоритм для нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите. В статьях [54, 55] предлагаются марковские модели многолинейных RQ-систем с вызываемыми заявками, исследование которых проводится методами векторно-матричной алгебры.
В работах [22, 58] исследуется модель RQ-системы с вызываемыми заявками вида M/GI/1, где авторы находят совместное распределение числа заявок на орбите и состояния прибора с помощью рекуррентных и асимптотических методов.
В статьях [17, 45] авторы предлагают модели RQ-систем с вызываемыми заявками с постоянной частотой повторных обращений заявок с орбиты. Эти исследования также представляют интерес, так как стандартно рассматриваются RQ-системы, где частота повторных обращений зависит от числа заявок на орбите.
Также для RQ-систем с вызываемыми заявками было предложено такое условие функционирования, как ограниченное число внешних источников. В таких системах каждый источник генерирует поток запросов к прибору, однако прерывает создание новых запросов на время, когда прибор обслуживает заявку данного источника [33, 32, 28, 50].
Наряду с этим, рассматриваются RQ-системы с вызываемыми заявками, в которых присутствуют несколько типов вызываемых заявок. В работах [31, 30] рассматриваются RQ- системы с двумя типами вызываемых заявок. Заявки первого типа вызываются прибором из орбиты, а заявки второго типа вызываются извне. В [57] была рассмотрена марковская RQ-система с двумя типами вызываемых заявок, с помощью рекуррентных соотношений получена производящая функция числа заявок на орбите.
Также представляют интерес модели RQ-систем с вызываемыми заявками и ненадежным прибором, где обслуживающее устройство может выходить из строя и восстанавливается в течение случайного времени. Статьи [53, 48, 41] посвящены анализу RQ-систем с данной модификацией.
Кроме исследования RQ-систем с вызываемыми заявками с целью получить характеристики функционирования системы, представляют интерес исследования направленные на оптимизацию работы системы. Так в работе [16] авторы предлагают алгоритм получения оптимальных интенсивностей вызывания и длительности обслуживания вызываемых заявок в смысле минимума числа заявок на орбите. Также авторы вводят такую характеристику как стоимость работы системы и рассматривают оптимизационную задачу минимизации стоимости работы системы.
Для исследования RQ-систем с вызываемыми заявками используются различные методы. Большинство моделей данной конфигурации не удается исследовать аналитически, поэтому зачастую применяются численные методы или методы имитационного моделирования. Имитационному моделированию систем и сетей массового обслуживания посвящены следующие работы [10, 9, 13, 29].
Однако, для исследования систем с вызываемыми заявками также можно применить методы асимптотического анализа, позволяющие получить характеристики системы при выполнении некоторого асимптотического условия. В работах [46, 58] методами асимптотического анализа исследуются марковские RQ-системы с вызываемыми заявками. Также были исследованы модели RQ-систем с вызываемыми заявками с марковски модулированным пуассоновским входящим потоком [47, 49]. Исследованию специальных потоков событий методами асимптотического анализа посвящена работа [15].
В настоящей работе рассматриваются RQ-системы с разнотипными вызываемыми заявками вида M/M/1, M/GI/1 и ММРР/М/1. В качестве методов исследования выступают методы асимптотического анализа, а также метод асимптотически-диффузионного анализа [44].
Актуальность работы подтверждается стремительным развитием области приложения исследования, а также несомненным интересом ученых к данной научной проблеме.
Научная новизна исследования заключается в том, что модели, предложенные в работе, не были изучены ранее. Также были разработаны модификации методов асимптотического и асимптотически-диффузионного анализа для изучения RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками.
В настоящей работе представлено исследование RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками вида М/М/1, ММРР/М/1 и M/GI/1. Анализ моделей, выполненный в работе, представлен двумя методами исследования: методом асимптотического и асимптотически- диффузионного анализа. В работе построены аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите в указанных системах в различных предельных условиях. Также построены диффузионные аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите для всех систем. На численных примерах показана точность построенных аппроксимаций, а также проведено сравнение результатов асимптотического и асимптотически-диффузионного анализа.
Основными научными достижениями данного исследования являются:
1. Математические модели RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками с простейшим входящим потоком, марковски модулированным пуассоновским потоком и с произвольной функцией распределения вероятностей длительности обслуживания заявок.
2. Модификации метода асимптотического анализа для исследования RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками в предельных условиях согласованно высокой интенсивности вызывания заявок, согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок и большой задержки заявок на орбите.
3. Алгоритм применения метода асимптотически-диффузионного анализа для исследования RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками.
4. Аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите в RQ-системах с разнотипными вызываемыми заявками при различных условиях функционирования систем.
Результаты, описанные в данной работе, были представлены в докладах на следующих конференциях:
1. Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems 2019 (ITTMM 2019), г. Москва, 15-19 апреля, 2019;
2. VII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г. Томск, 23-25 мая, 2019;
3. XVIII Международная конференция им. А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Саратов, 26-30 июня, 2019.
По результатам исследований были подготовлены и опубликованы работы [52], [2], [3], [4], [51], [6], [60], [23], [5].
Основными научными достижениями данного исследования являются:
1. Математические модели RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками с простейшим входящим потоком, марковски модулированным пуассоновским потоком и с произвольной функцией распределения вероятностей длительности обслуживания заявок.
2. Модификации метода асимптотического анализа для исследования RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками в предельных условиях согласованно высокой интенсивности вызывания заявок, согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок и большой задержки заявок на орбите.
3. Алгоритм применения метода асимптотически-диффузионного анализа для исследования RQ-систем с разнотипными вызываемыми заявками.
4. Аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите в RQ-системах с разнотипными вызываемыми заявками при различных условиях функционирования систем.
Результаты, описанные в данной работе, были представлены в докладах на следующих конференциях:
1. Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems 2019 (ITTMM 2019), г. Москва, 15-19 апреля, 2019;
2. VII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г. Томск, 23-25 мая, 2019;
3. XVIII Международная конференция им. А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Саратов, 26-30 июня, 2019.
По результатам исследований были подготовлены и опубликованы работы [52], [2], [3], [4], [51], [6], [60], [23], [5].
