МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИКТИВНЫХ ИСТОЧНИКОВ, НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ПОВЕРХНОСТИ, ОХВАТЫВАЮЩЕЙ ОБЛАСТЬ РЕШЕНИЯ
|
Аннотация 3
Введение 4
1. Постановка задачи о колебаниях капли идеальной жидкости 9
2. Решение осесимметричных краевых задач для уравнения Лапласа с использованием фиктивных источников 13
2.1. Общая постановка задачи 13
2.2. Фундаментальные решения, соответствующие сосредоточенному точечному источнику 14
2.3. Фундаментальные решения, соответствующие источникам, непрерывно
распределенным по окружности 17
2.4. Классический метод фундаментальных решений 21
2.5. Выбор положения фиктивных источников 23
2.6. Применение интегральных уравнений 28
2.7. Выбор положения поверхности фиктивных источников и метода численного интегрирования 32
2.8. Сравнение двух вариантов реализации метода 36
2.9. Некоторые замечания о расположении фиктивных источников 39
3. Моделирование колебаний капли идеальной жидкости 46
3.1. Размещение узловых точек на свободной поверхности 46
3.2. Подход Эйлера при расчете движения свободной поверхности 47
3.3. Подход Лагранжа при расчете движения свободной поверхности 49
3.4. Определение потенциала на свободной поверхности 51
3.5. Вычисление массы и энергии при численном моделировании 54
3.6. Результаты численного моделирования 58
Заключение 67
Список литературы 68
Приложение 1. Алгоритмы для вычисления эллиптических интегралов 71
Введение 4
1. Постановка задачи о колебаниях капли идеальной жидкости 9
2. Решение осесимметричных краевых задач для уравнения Лапласа с использованием фиктивных источников 13
2.1. Общая постановка задачи 13
2.2. Фундаментальные решения, соответствующие сосредоточенному точечному источнику 14
2.3. Фундаментальные решения, соответствующие источникам, непрерывно
распределенным по окружности 17
2.4. Классический метод фундаментальных решений 21
2.5. Выбор положения фиктивных источников 23
2.6. Применение интегральных уравнений 28
2.7. Выбор положения поверхности фиктивных источников и метода численного интегрирования 32
2.8. Сравнение двух вариантов реализации метода 36
2.9. Некоторые замечания о расположении фиктивных источников 39
3. Моделирование колебаний капли идеальной жидкости 46
3.1. Размещение узловых точек на свободной поверхности 46
3.2. Подход Эйлера при расчете движения свободной поверхности 47
3.3. Подход Лагранжа при расчете движения свободной поверхности 49
3.4. Определение потенциала на свободной поверхности 51
3.5. Вычисление массы и энергии при численном моделировании 54
3.6. Результаты численного моделирования 58
Заключение 67
Список литературы 68
Приложение 1. Алгоритмы для вычисления эллиптических интегралов 71
Класс задач о течении жидкости со свободной поверхностью представляет большой интерес для самых различных областей науки и техники, будь то химическая технология, гидрометеорология, охрана окружающей среды или аэрокосмические исследования. Наличие свободной поверхности в области течения является характерной особенностью таких процессов, как распыление аэрозолей, нанесение покрытий, литье и многих других. Данное обстоятельство обуславливает неослабевающий интерес исследователей как к развитию методов решения, так и к более тщательному изучению конкретных задач, имеющих теоретическое и практическое значение.
В связи с нерегулярностью границ областей, характерной для исследуемых процессов, при количественном анализе не следует рассчитывать на получение аналитических результатов, и, как правило, решения большинства практических задач приходится искать с использованием численных методов. В случаях, когда вязкостью жидкости можно пренебречь, течение имеет потенциальный характер. Поэтому существует необходимость в разработке таких методов решения задач теории потенциала, при использовании которых не возникнет сложностей, связанных с изменением границы области решения. С этой точки зрения наиболее популярные методы - метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ) - имеют существенный недостаток: для их реализации необходима дискретизация всей области решения, что может стать сложной подзадачей при движении границы.
На сегодняшний день в качестве альтернативы этим методам большое развитие получили методы граничных элементов (МГЭ) [1 - 3]. Прямой вариант метода граничных элементов (ПМГЭ) подразумевает переход от исходной краевой задачи к системе граничных интегральных уравнений с использованием формул Грина. В качестве неизвестных функций в эти уравнения входят потенциал и нормальный поток на границе. После решения этих уравнений становится возможным вычисление потенциала и потока в любой точке области решения. При реализации непрямого метода граничных элементов (НМГЭ) тоже составляются граничные интегральные уравнения, однако для этого используется другой подход. При этом подходе предполагается, что потенциальное поле внутри области решения создается фиктивными источниками, непрерывно распределенными по границе. Тогда в качестве неизвестной функции в интегральные уравнения входит плотность этих фиктивных источников. После ее нахождения также становится возможным вычисление потенциала и потока в любой точке области решения (при этом, в отличие от ПМГЭ, в непрямом варианте искомая функция сама по себе не имеет физического смысла). Можно выделить несколько основных преимуществ МГЭ: 1) для решения интегральных уравнений необходима дискретизация лишь границы, что существенно упрощает эту подзадачу в случае областей со сложными нерегулярными границами; 2) переход к граничным уравнениям фактически уменьшает размерность задачи на единицу, что ведет к снижению необходимого машинного времени; 3) реализация МГЭ подразумевает численное интегрирование, не требуя численного дифференцирования, а процесс интегрирования более устойчив.
Вместе с тем, следует отметить, что получаемые в МГЭ интегральные уравнения являются сингулярными (т. е. в определенных точках области интегрирования подынтегральная функция обращается в бесконечность). Это значительно осложняет численное интегрирование и зачастую ведет к необходимости особого рассмотрения таких точек. Развивая идею о фиктивных источниках, использованную в НМГЭ, подобных трудностей можно избежать, если предположить, что эти источники находятся не на границе области решения, а за ее пределами. На этом основан метод фундаментальных решений (МФР, также встречается под названием метод точечных источников). При его реализации считается, что поле внутри области создается Nточечными источниками, расположенными за ее границами. Интенсивности этих источников являются неизвестными, и для их определения составляется система линейных алгебраических уравнений с использованием граничных условий для N узловых точек.
Методу фундаментальных решений применительно к эллиптическим уравнениям посвящен ряд работ как отечественных, так и зарубежных исследователей. Классический МФР описан в [4 - 7]. В [8, 9] для широкого круга задач для МФР обоснованы качества, необходимые любому численному методу - устойчивость и сходимость. В [10, 11] проведен численный анализ влияния количества и расположения фиктивных источников на погрешность метода. Показано, что при увеличении числа фиктивных источников и их отдалении от границы число обусловленности матрицы СЛАУ быстро растет, однако это не всегда приводит к понижению точности. В [12] для оценки возможности применения МФР к конкретной задаче предложено использовать введенное «эффективное» число обусловленности. В [13 - 15] приведен вариант метода с заведомо неизвестным расположением фиктивных источников. В этом случае для его определения решается нелинейная задача минимизации невязки в граничных условиях. В [16, 17] рассмотрен вариант, при котором число фиктивных источников не совпадает (больше или меньше) с числом узловых точек. В этом случае тоже необходимо решать нелинейную задачу минимизации невязки в граничных условиях.
Ряд работ посвящен плохой обусловленности матрицы МФР: в [18] рассмотрен способ улучшения числа обусловленности с использованием ряда Фурье; в [19] положение фиктивных источников совпадает с граничными узлами, а для устранения сингулярности применяются специальные техники регуляризации и десингуляризации. В [20] описан ускоренный вариант МФР, который позволяет понизить вычислительную сложность алгоритма без значительных потерь в точности. В [21] показаны особые фундаментальные решения для трехмерных задач, использование которых повышает эффективность. Разработано немалое количество модифицированных МФР, направленных на уменьшение погрешности. Так, в [22] приведена модификация МФР, основанная на применении быстрого преобразования Фурье; в [23] - на использовании потенциала простого слоя или потенциала двойного слоя.
Если область решения имеет осевую симметрию (что нередко встречается в прикладных задачах о течении жидкости со свободной поверхностью), то МФР может быть модифицирован с применением кольцевых фиктивных источников вместо точечных. При использовании соответствующих таким источникам фундаментальных решений осесимметричную трехмерную задачу можно рассматривать, как двумерную (т. е., ввиду специфики МФР, дискретизация в этом случае необходима лишь для кривой - образующей осесимметричной поверхности). Этот алгоритм описан в [24].
Данная работа также посвящена осесимметричным задачам, однако, помимо классического МФР, в ней предлагается альтернативный вариант. При его реализации предполагается, что фиктивные источники не расположены дискретно, а являются непрерывно распределенными по некоторой поверхности, охватывающей область решения. Плотность этих источников неизвестна, и для ее нахождения составляются интегральные уравнения, основанные на граничных условиях. Эти уравнения решаются путем разбиения кривой интегрирования на элементы (аналогичная методика используется при реализации НМГЭ).
Рассмотренные в работе алгоритмы проверяются на конкретной задаче - задаче о колебаниях капли несжимаемой идеальной жидкости под действием силы поверхностного натяжения при отсутствии силы тяжести.
Таким образом, целью работы является:
% Исследование классического варианта МФР применительно к осесимметричным краевым задачам для уравнения Лапласа;
% Разработка альтернативного варианта метода, выявление его преимуществ;
% Разработка алгоритма применения указанных методов при моделировании потенциальных течений со свободной поверхностью.
Научная новизна работы заключаются в следующем:
% Исследовано влияние положения фиктивных источников на получаемое решение при реализации классического МФР в осесимметричной постановке;
* Разработан и исследован альтернативный вариант МФР, позволяющий получать решения более высокой точности;
* Разработан и протестирован алгоритм применения описанных методов к решению задач о потенциальных течениях со свободной поверхностью.
Практическая значимость методических работ, посвященных течениям со свободной поверхностью, обусловлена тем, что подобные течения возникают в самых различных промышленных технологиях, а также представляют интерес для таких наук как метеорология, геология, биология и других.
Достоверность и обоснованность всех описанных методик подтверждается при численном моделировании процесса колебания капли идеальной жидкости - наблюдается выполнение законов сохранения массы и энергии, а также совпадение результата с известным аналитическим решением.
Краткое содержание работы по главам:
* В первой главе описывается постановка задачи о колебаниях капли идеальной жидкости, рассматриваемой в работе в качестве примера, определяется единственный безразмерный параметр, от которого зависит решение, кратко перечисляются шаги алгоритма решения задачи;
* Во второй главе рассматривается метод фундаментальных решений применительно к краевым задачам для уравнения Лапласа, являющегося основным уравнением, используемым при моделировании подобных процессов, описывается альтернативный вариант реализации метода, выявляются его пре-имущества;
* В третьей главе приводится алгоритм применения метода фундаментальных решений при моделировании потенциальных течений со свободной поверхностью, рассматриваются способы реализации кинематического условия на свободной границе, анализируются результаты численного решения упомянутой задачи.
В связи с нерегулярностью границ областей, характерной для исследуемых процессов, при количественном анализе не следует рассчитывать на получение аналитических результатов, и, как правило, решения большинства практических задач приходится искать с использованием численных методов. В случаях, когда вязкостью жидкости можно пренебречь, течение имеет потенциальный характер. Поэтому существует необходимость в разработке таких методов решения задач теории потенциала, при использовании которых не возникнет сложностей, связанных с изменением границы области решения. С этой точки зрения наиболее популярные методы - метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ) - имеют существенный недостаток: для их реализации необходима дискретизация всей области решения, что может стать сложной подзадачей при движении границы.
На сегодняшний день в качестве альтернативы этим методам большое развитие получили методы граничных элементов (МГЭ) [1 - 3]. Прямой вариант метода граничных элементов (ПМГЭ) подразумевает переход от исходной краевой задачи к системе граничных интегральных уравнений с использованием формул Грина. В качестве неизвестных функций в эти уравнения входят потенциал и нормальный поток на границе. После решения этих уравнений становится возможным вычисление потенциала и потока в любой точке области решения. При реализации непрямого метода граничных элементов (НМГЭ) тоже составляются граничные интегральные уравнения, однако для этого используется другой подход. При этом подходе предполагается, что потенциальное поле внутри области решения создается фиктивными источниками, непрерывно распределенными по границе. Тогда в качестве неизвестной функции в интегральные уравнения входит плотность этих фиктивных источников. После ее нахождения также становится возможным вычисление потенциала и потока в любой точке области решения (при этом, в отличие от ПМГЭ, в непрямом варианте искомая функция сама по себе не имеет физического смысла). Можно выделить несколько основных преимуществ МГЭ: 1) для решения интегральных уравнений необходима дискретизация лишь границы, что существенно упрощает эту подзадачу в случае областей со сложными нерегулярными границами; 2) переход к граничным уравнениям фактически уменьшает размерность задачи на единицу, что ведет к снижению необходимого машинного времени; 3) реализация МГЭ подразумевает численное интегрирование, не требуя численного дифференцирования, а процесс интегрирования более устойчив.
Вместе с тем, следует отметить, что получаемые в МГЭ интегральные уравнения являются сингулярными (т. е. в определенных точках области интегрирования подынтегральная функция обращается в бесконечность). Это значительно осложняет численное интегрирование и зачастую ведет к необходимости особого рассмотрения таких точек. Развивая идею о фиктивных источниках, использованную в НМГЭ, подобных трудностей можно избежать, если предположить, что эти источники находятся не на границе области решения, а за ее пределами. На этом основан метод фундаментальных решений (МФР, также встречается под названием метод точечных источников). При его реализации считается, что поле внутри области создается Nточечными источниками, расположенными за ее границами. Интенсивности этих источников являются неизвестными, и для их определения составляется система линейных алгебраических уравнений с использованием граничных условий для N узловых точек.
Методу фундаментальных решений применительно к эллиптическим уравнениям посвящен ряд работ как отечественных, так и зарубежных исследователей. Классический МФР описан в [4 - 7]. В [8, 9] для широкого круга задач для МФР обоснованы качества, необходимые любому численному методу - устойчивость и сходимость. В [10, 11] проведен численный анализ влияния количества и расположения фиктивных источников на погрешность метода. Показано, что при увеличении числа фиктивных источников и их отдалении от границы число обусловленности матрицы СЛАУ быстро растет, однако это не всегда приводит к понижению точности. В [12] для оценки возможности применения МФР к конкретной задаче предложено использовать введенное «эффективное» число обусловленности. В [13 - 15] приведен вариант метода с заведомо неизвестным расположением фиктивных источников. В этом случае для его определения решается нелинейная задача минимизации невязки в граничных условиях. В [16, 17] рассмотрен вариант, при котором число фиктивных источников не совпадает (больше или меньше) с числом узловых точек. В этом случае тоже необходимо решать нелинейную задачу минимизации невязки в граничных условиях.
Ряд работ посвящен плохой обусловленности матрицы МФР: в [18] рассмотрен способ улучшения числа обусловленности с использованием ряда Фурье; в [19] положение фиктивных источников совпадает с граничными узлами, а для устранения сингулярности применяются специальные техники регуляризации и десингуляризации. В [20] описан ускоренный вариант МФР, который позволяет понизить вычислительную сложность алгоритма без значительных потерь в точности. В [21] показаны особые фундаментальные решения для трехмерных задач, использование которых повышает эффективность. Разработано немалое количество модифицированных МФР, направленных на уменьшение погрешности. Так, в [22] приведена модификация МФР, основанная на применении быстрого преобразования Фурье; в [23] - на использовании потенциала простого слоя или потенциала двойного слоя.
Если область решения имеет осевую симметрию (что нередко встречается в прикладных задачах о течении жидкости со свободной поверхностью), то МФР может быть модифицирован с применением кольцевых фиктивных источников вместо точечных. При использовании соответствующих таким источникам фундаментальных решений осесимметричную трехмерную задачу можно рассматривать, как двумерную (т. е., ввиду специфики МФР, дискретизация в этом случае необходима лишь для кривой - образующей осесимметричной поверхности). Этот алгоритм описан в [24].
Данная работа также посвящена осесимметричным задачам, однако, помимо классического МФР, в ней предлагается альтернативный вариант. При его реализации предполагается, что фиктивные источники не расположены дискретно, а являются непрерывно распределенными по некоторой поверхности, охватывающей область решения. Плотность этих источников неизвестна, и для ее нахождения составляются интегральные уравнения, основанные на граничных условиях. Эти уравнения решаются путем разбиения кривой интегрирования на элементы (аналогичная методика используется при реализации НМГЭ).
Рассмотренные в работе алгоритмы проверяются на конкретной задаче - задаче о колебаниях капли несжимаемой идеальной жидкости под действием силы поверхностного натяжения при отсутствии силы тяжести.
Таким образом, целью работы является:
% Исследование классического варианта МФР применительно к осесимметричным краевым задачам для уравнения Лапласа;
% Разработка альтернативного варианта метода, выявление его преимуществ;
% Разработка алгоритма применения указанных методов при моделировании потенциальных течений со свободной поверхностью.
Научная новизна работы заключаются в следующем:
% Исследовано влияние положения фиктивных источников на получаемое решение при реализации классического МФР в осесимметричной постановке;
* Разработан и исследован альтернативный вариант МФР, позволяющий получать решения более высокой точности;
* Разработан и протестирован алгоритм применения описанных методов к решению задач о потенциальных течениях со свободной поверхностью.
Практическая значимость методических работ, посвященных течениям со свободной поверхностью, обусловлена тем, что подобные течения возникают в самых различных промышленных технологиях, а также представляют интерес для таких наук как метеорология, геология, биология и других.
Достоверность и обоснованность всех описанных методик подтверждается при численном моделировании процесса колебания капли идеальной жидкости - наблюдается выполнение законов сохранения массы и энергии, а также совпадение результата с известным аналитическим решением.
Краткое содержание работы по главам:
* В первой главе описывается постановка задачи о колебаниях капли идеальной жидкости, рассматриваемой в работе в качестве примера, определяется единственный безразмерный параметр, от которого зависит решение, кратко перечисляются шаги алгоритма решения задачи;
* Во второй главе рассматривается метод фундаментальных решений применительно к краевым задачам для уравнения Лапласа, являющегося основным уравнением, используемым при моделировании подобных процессов, описывается альтернативный вариант реализации метода, выявляются его пре-имущества;
* В третьей главе приводится алгоритм применения метода фундаментальных решений при моделировании потенциальных течений со свободной поверхностью, рассматриваются способы реализации кинематического условия на свободной границе, анализируются результаты численного решения упомянутой задачи.
В работе подробно рассмотрен алгоритм реализации классического метода фундаментальных решений применительно к осесимметричным краевым задачам для уравнения Лапласа, а также предложен альтернативный вариант метода с использованием непрерывно распределенных источников вместо дискретных. Для обоих вариантов проведены исследования по определению оптимального положения фиктивных источников. Выявлено, что использование непрерывно распределенных источников повышает точность получаемого решения.
Разработаны алгоритмы применения метода фундаментальных решений к осесимметричным потенциальным течениям со свободной поверхностью с использованием двух различных подходов при реализации кинематического условия на границе. На основе этих алгоритмов смоделирован процесс колебаний капли идеальной жидкости, имеющей в начальный момент времени форму вытянутого эллипсоида вращения с отношением полуосей к от 1.01 до 1.6. Достоверность полученных результатов подтверждена совпадением периода колебаний при малом значении к с известным аналитическим решением, а также выполнением законов сохранения массы и энергии. Выявлено, что в некоторых случаях решение, полученное при использовании непрерывно распределенных источников, оказывается значительно устойчивее, чем решение, полученное классическим методом.
Результаты позволяют предположить, что предложенный в работе метод является перспективным при моделировании более сложных течений, имеющих практическое значение.
Разработаны алгоритмы применения метода фундаментальных решений к осесимметричным потенциальным течениям со свободной поверхностью с использованием двух различных подходов при реализации кинематического условия на границе. На основе этих алгоритмов смоделирован процесс колебаний капли идеальной жидкости, имеющей в начальный момент времени форму вытянутого эллипсоида вращения с отношением полуосей к от 1.01 до 1.6. Достоверность полученных результатов подтверждена совпадением периода колебаний при малом значении к с известным аналитическим решением, а также выполнением законов сохранения массы и энергии. Выявлено, что в некоторых случаях решение, полученное при использовании непрерывно распределенных источников, оказывается значительно устойчивее, чем решение, полученное классическим методом.
Результаты позволяют предположить, что предложенный в работе метод является перспективным при моделировании более сложных течений, имеющих практическое значение.