Введение 3
1 Область с симметрией переноса 6
2 Отображение с симметрией переноса 7
3 Отображение с двойной симметрией 9
4 Конформное отображение на счетноугольник 11
4.1 Отображения на верхнюю полуплоскость с исключенными пятиугольниками 13
4.1.1 Полуплоскость с исключенными правильными пятиугольниками
13
4.1.2 Полуплоскость с исключенными симметричными
пятиугольниками с углами ^ и 3^ 16
4.1.3 Полуплоскость с исключенными пятиугольниками с вершиной в
бесконечности и прямыми углами 19
4.1.4 Полуплоскость с разрезами по двум перпендикулярным отрезкам 21
4.1.5 Отображения с двойной симметрией на верхнюю полуплоскость с
исключенными пятиугольниками 23
Заключение 26
Список использованной литературы 27
Началом геометрического направления в теории голоморфных отображений стала защита диссертации «Основания теории функций комплексной переменной» немецким математиком Бернхардом Риманом [1] (17.09.1826 - 20.07.1866) в 1851 году, где была получена известная теорема Римана о конформном изоморфизме односвязных областей. Именно эта теорема стала основополагающей для дальнейших исследований в теории голоморфных функций.
Независимо друг от друга Э. Кристоффелем в 1867 году и Г.А. Шварцем в 1869 году получено интегральное представление [2] отображений верхней полуплоскости на односвязные области, граница которых состоит из прямолинейных отрезков.
Нахождение конформных отображений с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца стало широко использоваться при решении задач: о плоских упругих системах, теории теплопроводности, теории фильтрации, теории электромагнитного поля. Формула Кристоффеля-Шварца часто применяется при решении задач в областях гибридной микроэлектроники, магнетизма, теории микроволновых излучений, задачах дифракции и др. Интерес к отображениям верхней полуплоскости на счетноугольники с симметрией переноса типа полуплоскости и типа полосы появился в последние десятилетия. Конформные отображения на счетноугольник с симметрией переноса применяются в гидродинамике, в задачах теплопроводности, электростатики, в СВЧ теории и другие.
Профессор П.П. Куфарев [3] (18.03.1909 - 17.07.1968), основатель томской научной школы по теории функций комплексного переменного, проявил интерес к решению задач, относящихся к голоморфным и однолистным в верхней полуплоскости отображениям. В 1999 году И.А. Александровым [4] было начато исследование отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси. Этому же вопросу посвящена диссертация Л.С. Копаневой [5], защищенная в 2003 году. Автором были изучены некоторые свойства отображений с симметрией переноса [6]. Введен в рассмотрение класс отображений Л'2_, для них получена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца. Приведены некоторые примеры отображений с симметрией переноса, полученные с помощью этой формулы.
Чуть позже в 2014 году опубликовывается статья «Конформное отображение на счетноугольник с двойной симметрией», написанная И.А. Колесниковым и Л.С. Копаневой [7]. В этой работе конформное отображение полуплоскости на области с двойной симметрией представляется интегралом Кристоффеля-Шварца. Доказательство результата основывается на принципе симметрии Римана-Шварца и классической формуле Кристоффеля-Шварца.
В этом же году И.А. Колесников [8] защищает кандидатскую диссертацию «Конформные отображения канонических областей на области с симметрией», в которой были рассмотрены области с двойной симметрией и найдено несколько отображений на конкретно заданные области.
Большое внимание в математике, особенно в прикладных вопросах, уделяется получению конформных отображений на конкретные многоугольники. Частные отображения полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса получены в некоторых упомянутых работах.
Цели и задачи, решаемые в работе:
• Изучить области с симметрией переноса вдоль вещественной оси на Т и области с двойной симметрией.
• Получить и доказать новые свойства отображений на область с
симметрией переноса.
• Получить и доказать новые свойства отображений на область с
двойной симметрией.
• Получить конформное отображение на верхнюю полуплоскость с исключенными пятиугольниками с помощью формулы типа формулы Кристоффеля-Шварца.
Новизна и практическая значимость темы
В работе доказано свойство для отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси на Т и доказано свойство для отображений с двойной симметрией.
С помощью формулы типа формулы Кристоффеля-Шварца для отображений из класса Х2я, множеством значений которых является счетноугольник, получены отображения в интегральном виде для конкретных счетноугольников.
При выполнении выпускной бакалаврской работы получены следующие результаты:
• Доказано свойство для отображений с симметрией переноса вдоль вещественной оси на Т;
• Доказано свойство для отображений с двойной симметрией;
• Записаны отображения в интегральном виде для верхней
полуплоскости с исключенными пятиугольниками;
• Записаны отображения в интегральном виде для верхней
полуплоскости с исключенными симметричными
пятиугольниками;
• Найденные отображения на одинаковые области, полученные разными способами, совпадают.
Исследования по данной теме можно продолжить, найдя другие отображения на конкретно заданные области.
