Введение 4
1.Основные понятия прямой суммы и ее свойства 5
2. Свободные абелевы группы. Определяющие соотношения 9
3. Конечно порожденные группы 11
5. Прямые суммы циклических p — групп 15
6. Подгруппы прямых сумм циклических групп 18
7. Счетные свободные группы 20
8. Применения к конкретным задачам 20
Заключение 22
ЛИТЕРАТУРА 24
Понятие прямой суммы в теории абелевых групп весьма важно. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, в случае если группа разлагается в прямую сумму, ее можно исследовать, изучая компоненты в прямой сумме, которые в частных случаях устроены легче, чем сама группа. Во-вторых, можно строить новые группы, беря прямые суммы ранее известных групп. Почти все структурные теоремы об абелевых группах включают в себя, явно или неявно, некоторое прямое разложение. Существуют два способа введения прямых сумм, а именно можно рассматривать внешнюю и внутреннюю сумму. Здесь будут рассматриваться эти понятия и их основные свойства. Внешнее определение приводит к полным прямым суммам, называемым прямыми произведениями.
Значение прямой суммы циклических групп разъясняется тем, что они легко могут быть охарактеризованы с помощью достаточно известных инвариантов; исследование же иных классов групп основано до некоторой степени на том, что мы знаем о прямых группах циклических групп.
Работа посвящена свободным группам и сжатому изложению вопроса, как задать группу образующими и определяющими соотношениями. Далее доказывается основная теорема о строении конечно порожденной группы. На них имеются ссылки во всевозможных ветвях математики. Для бесконечно порожденных групп можно установить критерии, при которых группа разлагается в прямую сумму циклических групп; впрочем, ими удобно пользоваться лишь в случае периодических групп. Один из наиболее применяемых результатов заключается в том, что класс прямых сумм циклических групп замкнут относительно перехода к подгруппам.
Каждая абелева группа A имеет подгруппы, являющиеся прямыми суммами циклических групп. Те из этих подгрупп, которые в некотором смысле максимальны, определяют кардинальные числа, зависящие только от группы A . Это ведет к понятию рангов, которые считаются очень полезными инвариантами для группы A .
Целью данной работы является ознакомление с основными определениями и базовыми теоремами, а также формирование умений и навыков применения изученных теорем в доказательствах новых теорем и для построения примеров групп. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:
1. рассмотрение определений;
2. анализ и доказательства теорем;
Существование свободных объектов в категории абелевых групп представляет фундаментальную роль. Хотя в гомологической алгебре особенно принципиальна проективность, в теории абелевых групп, вероятно, большую роль играет свобода. Однако, для абелевых групп свобода и проективность - эквивалентные понятия. Для модулей проективные объекты - это в точности прямые слагаемые свободных модулей. Они свободны над локальными кольцами [см. Капланский], а, кроме того, над кольцами полиномов от конечного числа не коммутирующих между собой переменных с коэффициентами из коммутативного поля. Теорема 2.5. справедлива для модулей над областями главных левых идеалов. Подмодули проективных модулей сами проективны в том и только в том случае, когда кольцо наследственно слева, т.е. все левые идеалы проективны.
Понятие прямой суммы в теории абелевых групп весьма важно. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, в случае если группа разлагается в прямую сумму, ее можно исследовать, изучая компоненты в прямой сумме, которые в частных случаях устроены легче, чем сама группа. Во-вторых, можно строить новые группы, беря прямые суммы ранее известных групп.
Значение прямой суммы циклических групп разъясняется тем, что они легко могут быть охарактеризованы с помощью достаточно известных инвариантов; исследование же иных групп классов абелевых групп основано до некоторой степени на том, что мы знаем о прямых группах циклических групп.
