Реферат 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Кривизна плоской кривой. Типы линии уровня 5
2 Постановка экстремальных задач 7
3 Оценка снизу кривизны линии уровня первого типа 8
4 Исследование второй экстремальной задачи 10
5 Более точная мажорантная область 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19
ЛИТЕРАТУРА 20
ПРИЛОЖЕНИЕ 21
Задача о кривизне линии уровня является одной из классических задач в геометрической теории комплексного анализа.
В §1 данной работы приведено известное определение кривизны плоской кривой, когда она задана параметрически. Исследование проводится в классе однолистных голоморфных нормированных в единичном круге отображений. Вводится два типа линии уровня для таких отображений.
В §2 формулируется четыре экстремальных задачи в виде действительнозначных функционалов на рассматриваемом классе отображений.
В геометрической теории одной из нерешенных задач является задача об оценке сверху кривизны линии уровня первого типа. Оценка снизу получена многими математиками различными способами, например, в работе [1] Александрова И.А. оценивание проводится с помощью вспомогательного комплекснозначного функционала. В §3 работы приводится еще один прием получения нижней оценки, используя вспомогательный функционал другого вида.
В §4-5 проводится исследование второй экстремальной задачи. При этом, с помощью автоморфизма задача заменяется эквивалентной. Вводится вспомогательный функционал J со значениями в четырехмерном евклидовом пространстве. Для этого функционала известен мажорантный параллелепипед и исследование сводится к изучению действительного отображения Т на параллелепипеде. Исследование оказалось технически непростым и объемным и на данный момент не завершено. Знание множества значений функционала
позволяет получить более точную мажорантную область для J (5).
Предполагается, что исследование на этой области даст более точный результат.
В работе, используя известные в математике два понятия линии уровня, сформулированы четыре экстремальных задачи с привлечением понятия кривизны кривой в точке. Новым способом получена оценка снизу кривизны в первой задаче. Центральной задачей моей работы является оценка кривизны линии уровня второго типа в фиксированной точке единичного круга. Эта задача является новой в геометрической теории комплексного отображения. Изучаемый функционал заменен эквивалентным функционалом и введен в рассмотрение вспомогательный функционал из класса S в четырехмерное евклидово пространство. Нахождение максимального и минимального значений эквивалентного функционала сведено к анализу на экстремум действительного отображения из четырехмерного параллелепипеда. Начато подробное исследование, но завершить его пока не удалось.
