Введение 6
1. Исследование числа занятых приборов в неоднородных
бесконечнолинейных системах массового обслуживания с повторными обращениями 9
1.1 Постановка задачи 9
1.2 Исследование числа занятых приборов на фазах 10
1.3 Метод производящих функций 11
2. Исследование потока заявок повторных обращений в неоднородных
двухфазных бесконечнолинейных системах массового обслуживания с повторными обращениями 15
2.1 Постановка задачи 15
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 16
2.3 Метод производящих функций 17
3. Исследование потоков в неоднородной СМО с неограниченным числом
линий с повторными обращениями методом предельной декомпозиции 22
3.1 Постановка задачи 22
3.2 Метод предельной декомпозиции 23
3.3 Стационарное распределение вероятностей состояний фаз 25
3.4 Исследование суммарного потока обращений на вторую фазу 28
Система дифференциальных уравнений Колмогорова 29
Метод производящих функций 29
Заключение 37
Список литературы
Работа любой системы массового обслуживания (СМО) состоит в обработке поступающего в нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые случайные моменты времени.
Каждая такая система состоит из определенного числа обслуживающих единиц, называемых «каналами» обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи; лица, выполняющие те или иные операции; различные приборы и т.д. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и готов для приема следующей заявки. Случайный характер потока заявок (требований) и времени обслуживания приводят к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишнее количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. Этот вариант встречается чаще всего, недаром теория массового обслуживания имеет второе название - «теория очередей».
Системы, в которых обслуживание требований начитается незамедлительно и не происходит отказов в обслуживании , называются бесконечные СМО. Бесконечные системы используются в качестве моделей call-центров, социально-экономических процессов страховых и торговых компаний, банков и т. д. .
Одной из модификаций систем массового обслуживания являются системы с повторным обслуживанием заявок или системы с обратной связью , используемые, например, для описания процессов дообслуживания в инфокоммуникационных системах.
Такие системы рассматриваются в работах [5,9,13]. В работах рассматриваются марковские однофазные СМО с повторным обращением.
В статьях рассматриваются также однофазные СМО, но с непуассоновским входящим потоком. В диссертации [7] предлагается использовать метод предельной декомпозиции для исследования СМО с произвольной функцией обслуживания заявок.
В настоящей работе проводится исследование двухфазных систем с повторным обслуживанием заявок.
Целью выпускной работы является исследование потоков обращений в двухфазных бесконечнолинейных СМО с повторным обслуживанием.
В соответствии с целью поставлены следующие задачи:
• Построить математическую модель неоднородной двухфазной бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием вида М|М(2)|да.
• Найти стационарное распределение вероятностей числа занятых приборов на каждой фазе в рассматриваемой системе.
• Провести исследование потоков в рассматриваемой системе с помощью метода производящих функций.
...
Таким образом, в работе была построена и исследована
математическая модель неоднородной двухфазной бесконечнолинейной
системы массового обслуживания с повторными обращениями. А именно:
Построена математическую модель неоднородной двухфазной
бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием вида M|M(2)|∞.
Найдено стационарное распределение вероятностей числа занятых
приборов на каждой фазе в рассматриваемой системе;
Проведено исследование потоков в рассматриваемой системе с
помощью метода производящих функций;
Построена математическая модель неоднородной двухфазной
бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием вида M|GI(2)|∞.
Исследованы потоки обращений в систему с повторным
обслуживанием M|GI(2)|∞ методом предельной декомпозиции.
Методом предельной декомпозиции исследован суммарный поток
обращений в рассматриваемой системе массового обслуживания. Получен
вид стационарного распределения вероятностей состояний фаз. Составлена
прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова для трёхмерного
марковского процесса. Получен вид производящих функций суммарного
числа
n(t)
обращений в системе. Используя вид производящей функции,
получили первый и второй момент, а также дисперсию суммарного потока
обращений.
По результатам исследований ВКР был сделан доклад на V-й
Международной молодёжной конференции «Математическое и программное
обеспечение информационных, технических и экономических систем» в
рамках секции Прикладной вероятностный анализ
