Введение 3
Глава 1: Одномерное уравнение переноса и численный метод
его решения 4
1.1 Постановка задачи 4
1.2 Численный метод решения задачи 6
1.2.1 Дискретизация области решения 7
1.2.2 Построение дискретного аналога 8
1.2.3 Противопотоковая схема 9
1.2.4 Направленная схема QUICK 11
1.2.5 Схема MLU 13
1.2.6 Дискретизация граничных условий 15
1.2.7 Организация вычислений 16
1.3 Исследование на устойчивость и аппроксимацию 16
1.4 Сравнение схем аппроксимации 19
Глава 2. Двумерное уравнение переноса и численный метод его решения 23
2.1 Математическая постановка задачи 23
2.2 Численный метод решение задачи 23
2.2.1 Дискретизация области решения 24
2.2.2 Построение дискретного аналога 25
2.2.3 Противопотоковая схема 27
2.2.4 Направленная схема QUICK 29
2.2.5 Схема MLU 32
2.3 Вычислительный эксперимент и сравнение полученных результатов 35
Глава 3 Параллельная реализация численного решения уравнения переноса 38
3.1 Основные функции MPI 38
3.2 Построение параллельного алгоритма для двумерной задачи
переноса 40
3.3 Ускорение и эффективность 44
Заключение 46
Уравнение переноса также известное как уравнение конвекции- диффузии, описывает процессы переноса различных физических величин, таких как масса, энергия, импульс, в среде. Это фундаментальное уравнение используется для моделирования динамических систем в различных областях науки и техники.
Применение уравнения переноса: Гидродинамика и метеорология: Уравнение переноса используется для моделирования движения атмосферных фронтов, океанических течений, распространения загрязнителей в атмосфере и водоемах. Теплопередача: применяется для описания процессов теплопередачи в твердых телах, жидкостях и газах, включая теплопроводность и конвекцию. Диффузия: моделирует процессы переноса массы в биологических системах, химических реакторах, при растворении веществ.
Промышленность: используется для оптимизации процессов в
различных отраслях, таких как химическая и нефтехимическая промышленность, металлургия, производство полимеров.
Решение уравнения переноса позволяет предсказать распределение искомой величины во времени и пространстве, что имеет решающее значение для понимания и управления природными и технологическими процессами. В численных методах, таких как метод конечных разностей, конечных объемов и других, уравнение переноса является одной из ключевых задач, требующих точного и эффективного решения [1], [6].
На основе метода конечного объема построены численные методы решения одномерного и двумерного уравнений переноса. На примере численного решения одномерного уравнения переноса показано, что схема MLU хорошо воспроизводит не гладкие решения и решения с разрывом. На примере численного решения двумерного уравнения переноса с известным аналитическим решением показано, что самое точное численно решение дает использование схемы MLU.
Выполнено распараллеливание численного алгоритма решения двумерного уравнения переноса с использованием технологии параллельного программирования MPI. Показано ускорение и эффективность полученной параллельной реализации при разном количестве используемых процессов.
