Среди математических задач есть такие задачи, которые либо не решаются аналитически, либо же поиск решения может занять много сил и времени. Именно в таких случаях удобно пользоваться численными методами, которые за конечное число шагов найдут решение с нужной точностью.
Численные методы чаще всего применяются к решению задач уравнений математической физики, значительная часть которых составляют уравнения гиперболического типа. Для решения разнообразных задач, таких как распространение электромагнитного излучения в различных средах, диффузия одного вещества в другом, конвективный перенос в газе и в жидкости, используется линейное уравнение переноса. Решение модельного уравнения переноса представляет не только практический интерес, но полезно при построении и исследовании разностных схем более сложных задач.
На сегодняшний день существует большое количество работ [1-3], описывающих разностные схемы для решения уравнения переноса. Однако, при численном решении задач очень важно иметь высокий порядок точности полученных результатов, поэтому особое внимание уделяется построению схем порядка точности выше, чем второго.
Уравнения в частных производных гиперболического типа допускают решения, имеющие разрывы искомой функции по пространственным переменным. Решение линейного уравнения переноса может иметь разрывы только в том случае, если они содержатся в начальных или граничных данных. В квазилинейном уравнении разрывы решения могут возникать даже при непрерывных и достаточно гладких начальных данных. Поэтому важным свойством разностных схем для уравнений гиперболического типа является монотонность [1].
В данной работе для решения задачи Коши линейного уравнения переноса рассматриваются разностные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной для линейного уравнения переноса по методике, предложенной в [3]. В этой работе для получения разностной схемы на двухточечном шаблоне в качестве дополнительного неизвестного вводится первообразная от искомой функции. Введение вспомогательной функции позволяет построить схему четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной. Нахождение решения смешанной задачи Коши по такой компактной разностной схеме проводится методом бегущего счета.
В разделе 1 рассматривается построение разностной схемы первого порядка точности по времени и четвертого порядка точности по пространству. Исследование на аппроксимацию, устойчивость и монотонность полученной схемы приводится в разделе 2. В разделе 3 представлены вычислительные алгоритмы разностных схем второго и третьего порядка по времени, полученные диагонально неявным методом Рунге-Кутты. В разделе 4 приведены результаты численных расчетов по предложенным разностным схемам при решении тестовых задач для линейного уравнения переноса.
В ходе данной работы была рассмотрена и построена для линейного уравнения переноса разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространству и первого порядка аппроксимации по. Эта схема была исследована на порядок аппроксимации, устойчивость и монотонность. Так же были построены схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству и второго и третьего порядка аппроксимации по времени диагонально неявными методами Рунге-Кутты.
Для каждой разностной схемы был разработан численный алгоритм и написаны программы на языке Pascal. Проведенные на тестовых задачах расчеты показали, что численные решения хорошо согласуется с аналитическими решениями, как для гладких, так и для разрывных начальных условий.
Данная работа была представлена на всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики» (31 мая-2 июня 2021г.).
