АННОТАЦИЯ 3
1 Постановка задачи оптимизации 8
2 Классификация задач оптимизации 10
2.1 Задача безусловной оптимизации 10
2.2 Задача условной оптимизации 11
3 Математическое программирование 13
4 Нелинейное программирование 14
4.1 Выпуклый анализ функций 14
4.2 Задачи линейного и квадратичного программирования 15
4.3 Задача дискретного программирования 16
5 Численные методы оптимизации 18
5.1 Сходимость методов оптимизации 19
5.2 Методы одномерной максимизации 21
5.3 Дихотомический поиск 22
5.4 Методы нулевого порядка максимизации 23
6 Численное решение 29
6.1 Результаты программ 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 38
ПРИЛОЖЕНИЕ А 40
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 44
ПРИЛОЖЕНИЕ В 48
Одной из наиболее важных задач экономики является распределение ресурсов. Решение данной задачи может повысить эффективность работы организации, улучшить качество жизни и даже повлиять на решение крупных социальных и экономических проблем. Задачи такого плана представимы в виде математической модели (целевой функции и набором ограничений). Решение может быть получено разными способами для определения условий наибольшей выручки при наименьших затратах на производстве.
Численные методы оптимизации позволяют найти наилучшее решение данной задачи с учетом имеющихся ограничений (например, рабочей силы, материалов, оборудования). Эти методы включают в себя методы линейного, квадратичного и нелинейного программирования, генетические алгоритмы, методы стохастической оптимизации и методы локальной оптимизации. Каждый метод имеет свои особенности и применяется в зависимости от условий конкретной задачи.
Для поиска наилучшего решения задачи оптимизации нужно правильно определить целевую функцию, которую, в зависимости от задачи, нужно максимизировать или минимизировать, и задать ограничения.
Одним из ключевых факторов успешного применения численных методов оптимизации является правильный выбор начальных значений. Они могут существенно повлиять на скорость и точность сходимости алгоритма.
Выбор оптимального метода, также, зависит от конкретной задачи и ее условий. Например, методы линейного программирования подходят для задач с линейной целевой функцией и линейными ограничениями, в то время как для нелинейных задач, чаще всего, применяются численные методы оптимизации. Поэтому, перед выбором метода, необходимо провести анализ требований задачи и выбрать тот, который наилучшим образом соответствует ее условиям. К нелинейным задачам относятся задачи оптимального распределения ресурсов на предприятии.
Таким образом, цель данной выпускной квалификационной работы является исследование и программная реализация методов решения задач оптимального распределения ресурсов на предприятии, удовлетворяющего условиям функционирования реальных экономических процессов, представленных в нелинейном виде.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- сформулировать математическую постановку задачи;
- провести сравнительный анализ и выбрать численные методы решения;
- осуществить программную реализацию решений задач оптимизации;
- провести анализ полученного результата.
Эффективность предприятий напрямую зависит от того, как правильно будет спланирован процесс производства продукции при ограниченных ресурсах. Для достижения оптимальных результатов используется моделирование реального объекта, при котором не требуется проведение физических экспериментов. Такой подход позволяет значительно сократить затраты на материалы и труд. Когда речь идет о нелинейных моделях, выбор методов нелинейного программирования зависит от конкретной задачи, которую нужно решить.
В результате проведенной работы было произведено сравнение эффективности различных методов оптимизации при решении задачи распределения ресурсов. Изучены методы случайного поиска, метод Хукка-Дживса с дискретным шагом и с одномерной максимизацией. Для проведения сравнения методов была выбрана задача распределения ресурсов, которая является одной из важных задач в экономике и управлении производством.
Результаты численных экспериментов показали, что метод случайного поиска неэффективен при решении данной задачи, так как он требует значительного количества итераций для получения решения с необходимой точностью.
Метод Хукка-Дживса с дискретным шагом показал более эффективные результаты по сравнению с методом случайного поиска. Однако, из-за необходимости дискретизации пространства поиска, данный метод может пропустить оптимальное решение, что делает его менее точным.
Метод Хукка-Дживса с одномерной максимизацией показал лучшие результаты по сравнению с другими методами. Он обеспечивает быстрое сходимость к оптимальному решению и позволяет получить решение с высокой точностью.
Таким образом, проведенный анализ позволяет рекомендовать метод Хукка-Дживса с одномерной максимизацией для решения задачи распределения ресурсов, так как он обеспечивает наилучшее соотношение между быстродействием и точностью решения.
