Аннотация
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Основные понятия 5
1.1 Конформное отображение 5
1.2 Многосвязная область 7
1.2.1 Двусвязная область 9
1.3 Функция Вейерштрасса ^(и) 10
1.4 Функция Вейерштрасса а(и) и ее связь с ^(и) функцией 11
1.5 Связь между сигма-функциями и тета-функциями 11
Глава 2. Вывод формулы Кристоффеля-Шварца для двусвязных областей 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22
Хорошо известно, что любые односвязные области (границы которых имеют по крайней мере по две точки) могут быть конформно отображены одна на другую. Иначе обстоит дело с областями двусвязными. Возьмем, например, два круговых кольца
д: r1 < z < г2 (Г2 > г1 > 0),
G'. R1 < Z < R2 (т2 > ri > 0)-
Конформное отображение одного из этих колец на другое можно получить, полагая
В
Z = Az или Z = —,z
где А и В - константы. В первом случае мы будем иметь
R2 = Ar2, R1 = Лг1л
откуда
R1 ?1
R2 г2
Во втором случае и, значит снова
R1 _Н
Т2~~2-
Нетрудно убедиться в том, что других отображений, взаимно однозначных и конформных, кольца д на кольцо G нет. В самом деле, функция Z = Z(z), дающая требуемое отображение, с помощью последовательного применения принципа симметрии Римана — Шварца может быть продолжена на всю плоскость z, из которой удалены точки z = 0, z = от, и это продолжение функции Z(z) отображает дважды проколотую плоскость z на такую же область в плоскости Z. Одна из точек z = 0, от будет устранимой особенностью и, следовательно, корнем для функции Z(z), а другая — для
, 1 гт,
функции ——- Так как простому обходу вокруг каждой из точек z = 0, от в z (z)
силу взаимной однозначности отображения отвечает простой обход в плоскости Z вокруг образов этих точек, то точки z = 0, от являются: одна простым и единственным корнем, а другая — простым и единственным полюсом функции Z(z). Отсюда и вытекает наше утверждение об отсутствии отображений, отличных от рассмотренных.
В ходе работы рассматривались двусвязные области, границами которых являются многоугольники. Так же был рассмотрен вид функций, взаимно однозначно и конформно отображающих круговые кольца на двусвязные области.
Рассмотренная формула являются своеобразным обобщением формул Кристоффеля — Шварца, с помощью которых осуществляется конформное отображение кольца на двусвязную многоугольную область.
