Тема: КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Хорошо известно, что любые односвязные области (границы которых имеют по крайней мере по две точки) могут быть конформно отображены одна на другую. Иначе обстоит дело с областями двусвязными. Возьмем, например, два круговых кольца
д: r1 < z < г2 (Г2 > г1 > 0),
G'. R1 < Z < R2 (т2 > ri > 0)-
Конформное отображение одного из этих колец на другое можно получить, полагая
В
Z = Az или Z = —,z
где А и В - константы. В первом случае мы будем иметь
R2 = Ar2, R1 = Лг1л
откуда
R1 ?1
R2 г2
Во втором случае и, значит снова

R1 _Н
Т2~~2-
Нетрудно убедиться в том, что других отображений, взаимно однозначных и конформных, кольца д на кольцо G нет. В самом деле, функция Z = Z(z), дающая требуемое отображение, с помощью последовательного применения принципа симметрии Римана — Шварца может быть продолжена на всю плоскость z, из которой удалены точки z = 0, z = от, и это продолжение функции Z(z) отображает дважды проколотую плоскость z на такую же область в плоскости Z. Одна из точек z = 0, от будет устранимой особенностью и, следовательно, корнем для функции Z(z), а другая — для
, 1 гт,
функции ——- Так как простому обходу вокруг каждой из точек z = 0, от в z (z)
силу взаимной однозначности отображения отвечает простой обход в плоскости Z вокруг образов этих точек, то точки z = 0, от являются: одна простым и единственным корнем, а другая — простым и единственным полюсом функции Z(z). Отсюда и вытекает наше утверждение об отсутствии отображений, отличных от рассмотренных.

Купить

В ходе работы рассматривались двусвязные области, границами которых являются многоугольники. Так же был рассмотрен вид функций, взаимно однозначно и конформно отображающих круговые кольца на двусвязные области.
Рассмотренная формула являются своеобразным обобщением формул Кристоффеля — Шварца, с помощью которых осуществляется конформное отображение кольца на двусвязную многоугольную область.

Купить