АННОТАЦИЯ 3
Введение 4
1. Система с повторными вызовами, вызываемыми заявками и ненадежным
прибором 6
1.1. Пример реальной системы в качестве объекта исследования 6
1.2. Математическая модель системы с повторными вызовами,
вызываемыми заявками и ненадежным прибором 7
1.3. Система дифференциальных уравнений Колмогорова 9
1.4. Метод характеристических функций. Распределение вероятностей
числа заявок на орбите 11
2. Асимптотический анализ системы с повторными вызовами, вызываемыми
заявками и ненадежным прибором 14
2.1. Асимптотика первого порядка 14
2.2. Асимптотика второго порядка 17
2.3. Численная реализация 21
3. Метод асимптотически-диффузионного анализа исследования систем
массового обслуживания 24
3.1. Первый этап асимптотически-диффузионного анализа 24
3.2. Второй этап асимптотически-диффузионного анализа 27
3.3. Построение диффузионной аппроксимации 34
3.4. Численная реализация 36
4. Имитационное моделирование системы с повторными вызовами,
вызываемыми заявками и ненадежным прибором 39
4.1. Описание имитационной модели 39
4.2. Алгоритм моделирования 41
4.3. Структура данных имитационной модели 43
4.4. Результаты работы имитационной модели 44
4.5. Точность результатов имитационного моделирования 45
5. Результаты исследования 48
5.1. Область применимости асимптотических результатов 48
5.2. Результаты для реальной системы 53
Заключение 56
Список использованных источников и литературы
В настоящее время системы массового обслуживания с повторными вызовами [1, 2, 3] являются очень популярными математическими моделями различных реальных систем. Такие системы также называются RQ-системами и характеризуются тем, что поступившая в систему заявка, в случае занятости сервера обслуживанием другой заявки, не теряется, а отправляется на орбиту и после случайной задержки пытается вновь занять прибор. Примером данных систем являются call-центры, моделированию которых посвящены следующие работы [4, 5, 6].
Мы рассматриваем системы с повторными вызовами и вызываемыми заявками [7, 8, 9], то есть предлагается использование смешанного call-центра, где операторы могут не только принимать звонки, но и выполнять исходящие вызовы. Таким образом сокращается время простоя операторов и повышается эффективность работы всей системы.
Так же мы рассматриваем системы, в которых сервер может выходить из строя и восстанавливаться, т.е. системы с ненадежным прибором. В работах [10, 11, 12] рассматриваются системы с повторными вызовами с вызываемыми заявками и ненадежным прибором.
В данной работе используется два метода исследования: метод асимптотического анализа [13, 14, 15] и новый подход - асимптотически- диффузионный анализ [16]. Первый метод позволит получить характеристики системы при выполнении некоторого асимптотического условия. Второй метод используется для более детального и точного изучения модели. Он дает более точные приближения. Для визуализации и определения области применимости полученных теоретических результатов будет выполнен численный анализ и построена имитационная модель предложенной системы.
Целью данной работы является построение математической модели сети связи в виде системы с вызываемыми заявками нескольких типов и ненадежным прибором и проведение ее исследования.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
• Для предложенной модели определить распределение вероятностей числа заявок на орбите.
• Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для данного распределения вероятностей.
• Разработать модификации известных методов для исследования предложенной модели - модифицированный метод асимптотического анализа и асимптотически-диффузионный метод решения систем дифференциальных систем Колмогорова.
• Построить имитационную модель предложенной системы.
• Провести сравнительный анализ полученных аналитически результатов с результатами имитационного моделирования.
Работа содержит 5 глав, 60 страниц, 17 рисунков, 4 таблицы, 25 источников.
В первой главе описана система с повторными вызовами, вызываемыми заявками и ненадежным прибором. Показан вывод системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок на орбите для этой системы и переход к характеристическим функциям. Во второй главе содержится нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотического анализа. В третьей главе содержится нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите методом асимптотически-диффузионного анализа. Четвертая глава работы посвящена построению имитационной модели исследуемой системы для получения эмпирического распределения числа заявок на орбите. В пятой главе приведен анализ области применимости асимптотических аппроксимаций числа заявок на орбите с помощью результатов, полученных методом имитационного моделирования.
В данной работе представлено исследование системы с повторными вызовами, несколькими типами вызываемых заявок и ненадежным прибором. Анализ представленной модели выполнен тремя методами исследования: методом асимптотического и асимптотически-диффузионного анализа и с помощью имитационного моделирования. Были построены аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите и проведен их анализ. В главе численного анализа показана точность построенных аппроксимаций. Анализируя полученные точности, можно сказать, что асимптотический анализ дает достаточно точные результаты при о < 0.1, а асимптотически- диффузионный анализ дает более точные результаты. Его аппроксимация применима при любых параметрах о.
По материалам исследований были сделаны доклады на конференциях:
1. Международная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем». Томск, 25-30 мая 2020 г. (Диплом I степени).
2. XIX Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2020). Томск, 2-5 декабря 2020 г.
Результаты исследований были опубликованы:
1. Шульгина К.С. Асимптотический анализ RQ-системы с вызываемыми заявками и ненадежным прибором / К.С.Шульгина, С.В.Пауль // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем. - 2020. - С. 309- 314.
2. Nazarov A. Asymptotic analysis of Markovian retrial queue with unreliable server and two-way communication under low rate of retrials condition / A.A. Nazarov, T. Phung-Duc, S.V. Paul, O.D. Lizyura, K.S. Shulgina // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2020) : материалы XIX Международной конференции имени А. Ф. Терпугова, 2-5 декабря 2020 г. Томск: Изд-во НТЛ, 2021. P. 99-104.
3. Nazarov A.A. Central Limit Theorem for an M/M/1/1 Retrial Queue with Unreliable Server and Two-Way Communication / A.A. Nazarov, T. Phung- Duc, S.V. Paul, O.D. Lizyura, K.S. Shulgina // Information Technologies and Mathematical Modelling. - 2021. - P. 120- 130.
