АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 3
1. Ряды из элементов с бинарной операцией + 4
1.1. Общие сведения из функционального анализа и теории рядов 4
1.2. Ряды в конечномерных пространствах 9
1.3. Ряды со штейницевской областью сумм в бесконечномерных пространствах 12
2. Ряды из элементов с бинарной операцией ° 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 22
Целью данной курсовой работы является углубление в теорию рядов. Изначально ряды рассматриваются в курсе Математического анализа, где рассматриваются числовые ряды, которые являются обобщением понятия суммы. Обобщением числовых рядов являются функциональные ряды, в которых появляются интересные свойства, например разные виды сходимости. Одним из видов сходимости является поточечно абсолютная сходимость, с помощью которой можно показать сходимость ряда при любой перестановке его членов. Это также можно обобщить, заменив модуль нормой (модуль также является нормой) и тогда мы уже переходим к рядам в нормированных пространствах.
Остаётся открытым вопрос сходимости рядов в произвольном бесконечномерном банаховом пространстве. В [1] и [2] была доказана теорема Штейница, описывающая область сумм ряда в п-мерном линейном пространстве. Данная теорема обобщает появившуюся ранее теорему Римана о перестановках условно сходящегося ряда.
Работа включает в себя две главы. В первой главе рассматриваются ряды в обычном их понимании, то есть как бесконечная сумма элементов некоторого банахового пространства. Во второй главе рассматриваются ряды в ином понимании, как бесконечные композиции функций. Вводится понятие топологической полугруппы, а также рассматриваются некоторые примеры топологических полугрупп. При рассмотрении таких рядов возникают вопросы относительно области сумм ряда, а также в целом того как они устроены.
В 2021 году вышла статья [8], в которой рассматриваются ряды в топологических полугруппах, состоящих из коммутирующих элементов. Эта идея была распространена на некоммутирующие элементы, в следствии чего возникли сложности со сходимостью. В работе приведено несколько примеров на эту тему.
Определение топологической полугруппы взято из [7], т.е. под топологической полугруппой мы понимаем некоторое топологическое пространство, на котором задана бинарная операция, обладающая свойством непрерывности.
Таким образом в работе рассмотрено два вида рядов, построенных из элементов различных топологических пространств. Основным результатом по главе 1 можно считать теоремы 13, 14, следствие из теоремы 14, которые описывают область сумм степенного ряда в пространстве С([а, Ь]). Также в главе 1 к теоремам приведены иллюстрирующие примеры. По главе 1 можно выделить полученный результат, что область сумм любого степенного ряда в пространстве С ([0,1]) является штейницевской.
Глава 2 иллюстрирует ряды в ином понимании, чем ряды, рассматриваемые в обычном курсе анализа (т.е. бесконечные суммы), вместо операции суммы используется операции - композиция. Приведено несколько примеров, в которых область сумм - одна точка.
