АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Классификация опционов 5
1.1 По направлению сделки 5
1.2 По способу исполнения 9
1.3 По сложности 9
2 Биномиальная модель 16
2.1 Описание модели 16
2.2 Описание модели для оценки стоимости опциона 17
2.3 Расчет волатильности акций на основе исторических данных 20
2.4 Оценка стоимости опциона 21
3 Модель Блэка-Шоулса 24
3.1. Вывод дифференциального уравнения Блэка-Шоулса-Мертона 24
3.2 Описание модели 25
3.3 Оценка стоимости опциона 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 29
Приложение А 30
Приложение Б 32
Приложение В 33
Приложение Г
В,В)-рынок — рынок, состоящий из безрисковых В (облигации) и рисковых S (акции) ценных бумаг:
- Облигации — это долговые обязательства, выпускаемые государством или банками, акционерными компаниями, другими финансовыми институтами с целью аккумулирования капитала [4].
- Акции — это долевые ценные бумаги, выпускаемые фирмами с целью аккумулировать капитал для последующей деятельности. Стоимость акции определяется как текущим состоянием фондового рынка, так и соответствующей производственной деятельностью фирмы. Владелец акции получает право на участие в работе фирмы и на получение дивидендов [4].
Опцион — один из производных финансовых инструментов, предоставляющий покупателю право, но не обязательство, на покупку или продажу базового актива по заранее установленной цене [1].
Сегодня опционы являются одним из наиболее популярных финансовых инструментов, используемых для защиты инвестиции от неожиданных изменений цен на активы в условиях быстро меняющихся рынков (особенно в условиях финансового кризиса). Оценка опционов — это важный процесс, позволяющий рассчитать его стоимость и принять решение о его покупке или продаже. Корректная оценка также помогает управлять рисками и действовать на основе анализа рыночной ситуации. В целом, актуальность оценки опционов заключается в том, что она позволяет инвесторам и трейдерам принимать обоснованные решения на финансовых рынках и управлять своими инвестициями более эффективно.
Опционный контракт — форма рыночных отношений между держателем опциона, обладающим правом совершать или не совершать операцию, и продавцом опциона, обязанным выполнить указанную операцию по желанию держателя опциона. Так как стороны не являются равноправными, то будущий владелец опциона должен выплатить противоположной стороне определенную премию, которая называется цена опциона [1].
Чаще всего опционный контракт имеет фиксированную дату окончания своего действия, называемую датой истечения опциона. Дата фактического выполнения соответствующей операции купли-продажи активов называется датой исполнения опциона.
Целью данной работы является оценка стоимости Европейского и Азиатского опционов пут (со сроком исполнения 3 месяца) на акции компании ПАО «Сбербанк» с котировками за 2021 год, используя стохастические модели оценки стоимости финансовых инструментов.
Для этого были поставлены следующие задачи:
- провести классификацию опционов по критериям: направление сделки, способ исполнения и сложность;
- найти данные для обработки и рассчитать волатильность, основываясь на них;
- построить трехэтапную биномиальную модель для каждого опциона;
- оценить опционы по формуле Блэка-Шоулса;
- сделать вывод о проделанной работе.
В первом разделе мы проведем классификацию опционов, что позволит лучше ориентироваться в многообразии этих инструментов и выбирать подходящие варианты для решения своих инвестиционных задач. По направлению сделки опционы бывают только двух типов: на покупку (call) и на продажу (put). Затем выполним деление по способу исполнения на европейские, американские и бермудские. В завершении особое внимание уделим различным видам экзотических опционов, таким как азиатские, барьерные и бинарные.
Второй раздел начнется с введения в теорию биномиальной модели, которая позволяет оценить стоимость опциона, основываясь на вероятности движения цены актива вверх или вниз. Далее последовательно изложим этапы построения модели, при этом заметим, что для корректной оценки необходимо учитывать множество факторов, например, волатильность рынка, ликвидность актива и др. Следовательно, при использовании данной модели нужно быть осторожным и проводить дополнительный анализ.
В третьем разделе — модель Блэка-Шоулса (BS-модель), основанная на использовании стохастического процесса для описания изменения цены актива, на который выписан опцион, в зависимости от времени и параметров. Мы детально изучим процесс применения этой модели для европейского опциона, а затем обсудим её адаптацию для азиатского опциона.
Обе модели являются мощными инструментами для анализа и дают близкие результаты при оценке стоимости опционов. Однако выбор конкретной модели для решения определенной задачи зависит от ряда факторов, таких как, предпочтения инвестора, уровень сложности опциона и доступность данных.
В работе проведена классификация опционов, охватывающая основные виды и их характеристики. Для подробного изучения ценообразования на основе биномиальной модели и модели Блэка-Шоулса были выбраны европейский и азиатский опционы пут:
• Европейские опционы являются одними из наиболее распространенных
финансовых инструментов на рынке деривативов. Их особенность
заключается в возможности исполнения только в момент истечения срока действия, что делает их идеальной базой для изучения.
• Азиатские опционы предоставляют уникальную возможность изучить влияние усреднения цены базового актива на стоимость опциона.
Для наглядности и удобства воспринятия информации внесем расчеты в таблицу 4. Также вычислим соответствующие цены европейского и азиатского опционов колл, используя формулу паритета (напомним, что для европейского опциона безрисковая процентная ставка равна 8%, а для азиатского — 4,2%).
Таблица 4 - Цены европейских и азиатских опционов колл и пут
Европейский опцион Азиатский опцион
биномиальная модель модель Блэка-Шоулса биномиальная модель модель Блэка-Шоулса
put 6,57 6 3,03 3,88
call 10,91 10,34 4,66 5,51
Мы видим, что европейский опцион в целом дороже азиатского — это связано с тем, что стоимость опциона напрямую зависит от рисков. В случае азиатского опциона цена усредняется, что снижает влияние кратковременных колебаний на стоимость, и следовательно, уменьшает риски.
По окончанию выполнения данной работы можно заключить, что биномиальная модель, хоть и представляет гибкий метод оценки стоимости опционов, численно менее стабильна из-за погрешности округления и дискретной природы шагов изменения цен актива. Это может привести к накоплению ошибок при последовательном применении вероятностных методов, особенно при большом числе шагов или при малых интервалах времени между ними. Модель Блэка-Шоулса, в свою очередь, использует аналитическую формулу, основанную на решении дифференциального уравнения, описывающего движение цены актива в непрерывном времени. Это обеспечивает более стабильные и точные результаты.
