Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Математическая модель 5
1.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 5
2 Допредельное исследование 9
3 Метод асимптотического анализа 14
3.1 Получение асимптотики первого порядка 14
3.2 Получение асимптотики второго порядка 19
3.3 Область применимости метода асимптотического анализа 23
4 Метод асимптотически-диффузионного анализа 28
4.1 Получение коэффициента переноса 28
4.2 Центрирование исследуемого процесса и получение коэффициента
диффузии 32
4.3 Построение диффузионной аппроксимации 39
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 43
Современные телекоммуникационные системы и автоматизированные системы управления требуют всё более сложных методов математического моделирования для анализа их производительности. Особый интерес представляют системы массового обслуживания с повторными вызовами (RQ-системы), в которых заявки, не получающие немедленного обслуживания, не покидают систему, а перемещаются в специальную зону ожидания (так называемую «орбиту») для последующих попыток получения услуг. Довольно много работ было посвящено исследованию MMPP-потока [1,6,8,11,25]. Всё больше и больше появляется работ, которые учитывают ненадёжность прибора, когда, например, сервер выходит из строя и требует ремонта [1]. Помимо этого исследователей интересуют и RQ-системы с «нетерпеливыми» заявками, которые, находясь на орбите, покидают систему после случайного времени, не дождавшись обслуживания [1,2,9,15,16].
В данной работе рассматривается RQ-система типа MMPP/M/1, характеризующаяся несколькими важными особенностями: марковским модулированным пуассоновским потоком входящих вызовов, возможностью отказов обслуживающего прибора ввиду поломки, наличием нетерпеливых заявок, которые могут покинуть орбиту после случайного времени ожидания, а также коллизией при одновременной передаче сообщений.
Для анализа этой сложной системы предлагается использовать последовательный двухэтапный подход. На первом этапе проводится асимптотический анализ в условиях длительной задержки заявок на орбите [1,2,9,16] для нахождения первого и второго асимптотических приближений . Второй этап - асимптотически-диффузионный анализ. Здесь исходный марковский процесс аппроксимируется диффузионным процессом.
Такой комбинированный подход позволяет не только получить аналитические выражения для основных характеристик системы, но и оценить стабильность её работы при различных параметрах, что открывает возможности для оптимизации реальных систем. Полученные результаты имеют большое практическое значение для проектирования телекоммуникационных сетей, оптимизации систем обработки вызовов, моделирования сложных систем массового обслуживания и оценки производительности при нестабильных нагрузках.
Цель: построение и исследование математической модели RQ-системы MMPP/M/1 c коллизиями, нетерпеливыми заявками и ненадёжным прибором методами асимптотического и асимптотически-диффузионного анализа.
В данной работе была рассмотрена RQ-система MMPP/M/1 с коллизиями, нетерпеливыми заявками и ненадёжным прибором.
В первой главе была описана математическая модель системы и построена система Колмогорова. Данные уравнения легли в основу дальнейшего анализа.
Во второй главе проведено допредельное исследование матричным методом. В частности, была предложена и реализована численная схема, направленная на построение стационарного распределения вероятностей числа заявок, находящихся на орбите. Для визуализации результатов разработанного алгоритма были построены соответствующие графики, демонстрирующие распределения в зависимости от параметров системы.
В третьей главе было получено распределение вероятностей числа заявок на орбите RQ-системы MMPP/M/1 с нетерпеливыми заявками, коллизиями и ненадёжным прибором методом асимптотического анализа . В качестве асимптотического условия было взято условие долгой задержки заявок на орбите. Реализован алгоритм расчёта асимптотического распределения числа заявок на орбите. Найдено расстояние Колмогорова, по которому сделаны выводы относительно точности полученных результатов . Приведены графики и сравнительная таблица.
В четвёртой главе представлен более детализированный подход - асимптотически-диффузионный анализ. Этот подход расширяет возможности классического асимптотического метода и обеспечивает более точное описание поведения системы в условии большой задержки заявок на орбите.
