Реферат 2
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Теоретическая часть 9
1.1 Эмпирическая функция распределения 9
1.2 Симметричная функция распределения 9
1.3 Проверка статистических гипотез 10
1.4 Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия 10
1.5 Критерии согласия. Критерий Колмогорова 11
2 Симметрия 12
2.1 Оценка симметричной функции распределения с известным
центром 12
2.2 Оценка симметричной функции распределения с неизвестным
центром 13
2.3 Исследование свойств оценки с учетом симметрии 16
2.4 Адаптивная оценка с учетом симметрии 18
2.5 Формула вероятности попадания эмпирической функции
распределения в полосу 18
3 Обобщенная симметрия 22
3.1 Понятие функции симметрии. Примеры 22
3.2 Оценка функции распределения с учетом обобщенной
симметрии 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 33
ПРИЛОЖЕНИЕ А Расчет отношения дисперсии эмпирической функции распределения и СКО оценки с учетом симметрии 34
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Расчет вероятности попадания эмпирической функции в заданную полосу 35
ПРИЛОЖЕНИЕ В Расчет зависимости нормированного СКО и весового коэффициента от отклонения параметров и объема выборки 37
В XXI преобладает тенденция стремительного роста информации, а также огромного количества статистических данных. Обработка имеющихся данных включает в себя статистическое оценивание параметров, проверку статистических гипотез, прогнозирование и т.д. Возникает актуальный вопрос: как усовершенствовать методы обработки статистических данных.
Улучшить статистические процедуры обработки данных можно за счет использования разнообразной дополнительной априорной информации о распределении анализируемой случайной величины. Данные знания могут заключать в себе следующую информацию: о симметрии относительно известного или неизвестного центра, о непрерывности, о квантилях и т.д., также на практике может быть комбинация таких знаний. Источником априорной информации могут служить условия эксперимента, прошлый опыт, физический смысл анализируемой случайной величины, теоретические исследования и т.д. Эти данные можно и нужно использовать при оценивании распределений.
Традиционные методы статистического оценивания распределений вероятностей исходят, как правило, из полной априорной неопределенности относительно искомого распределения. В этом случае в качестве статистической оценки используют эмпирическое распределение [7]. В действительности почти всегда что-нибудь известно об оцениваемом распределении. Эти знания, составляющие априорную информацию, могут быть совершенно различными, начиная от полного незнания заканчивая полным знанием.
Как частный случай можно учитывать информацию о симметрии распределения. Данной проблематикой занималось такие авторы, как E.F.Shuster [1,3], Ю.Г. Дмитриев[2,4], Ю.К.Устинов [2], Ж.Н.Зенкова [4] и другие. Учет дополнительных сведений о симметрии помогает улучшить свойства оценок - сделать их точнее. Например, это позволяет уменьшить среднеквадратическое отклонение по сравнению со среднеквадратическим отклонением общепринятой оценки, т.е. эмпирической функции распределения. Также это может позволить уменьшить объем наблюдений, которые нередко бывают дорогостоящими, затратными по времени или просто ограниченными по свой природной структуре.
В ВКР рассматривается задача оценки функции распределения случайной величины с учетом симметрии распределения с неизвестным центром, который задается исследователем в качестве априорной догадки, а не оценивается по выборке [1, 2, 4]. Предлагается структура оценки с весовым коэффициентом и анализируется среднеквадратическая ошибка в зависимости от отклонения априорной догадки от истинного значения. Строится адаптивная оценка функции распределения путем оценивания весового коэффициента по исходным данным.
Применить данный класс оценок можно в задачах согласия. Для данной задачи обычно используется статистика Колмогорова, основанная на эмпирической функции распределения. Предлагается построить модифицированную статистику Колмогорова, в которой вместо эмпирической функции распределения используется оценка, построенная с учетом симметрии.
Однако далеко не всегда у исследователя имеется априорная информация о симметрии распределения (в общепринятом смысле, т.е. имеется в виду существование некоего центра симметрии, относительно которого функция распределения симметрична). Тогда можно говорить о так называемой функции симметрии или S - преобразовании (см. определение и формулу (3.2)), которая, по сути, является «квантильным» преобразованием функции распределения. Данное свойство построено на обратном распределении, поэтому для всех без исключения непрерывных и монотонных функций можно построить S-преобразование. Таким образом, данное преобразование можно охарактеризовать как природное или естественное. В этом случае возникает задача использования данного свойства в статистических процедурах. Интерес представляет исследование свойств оценок, построенных с учетом функции симметрии. В данной работе представлен класс оценок с учетом S - преобразования, предлагаются способы оценивания данного преобразования.
В настоящей работе рассмотрена проблема оценивания функции распределения с учетом обобщенной симметрии, рассмотрены оценки с известным и неизвестным центром. Получены теоретические формулы для СКО оценок и вероятности нахождения эмпирической функции распределения в заданной полосе. Проведено сравнение свойств модифицированных классов оценок с эмпирической функцией распределения. Предложена структура адаптивной оценки функции распределения путем оценивания весового коэффициента по исходным данным. Приведена модифицированная статистика Колмогорова с учетом симметрии и с учетом SG - симметрии в задаче согласия. Проведен расчет вероятностей попадания эмпирической функции распределения в заданные полосы.
Результатам данной работы представлены на следующих конференциях:
1. IV Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем»; Томск, 20-21 мая 2016 г.
2. V Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (диплом III степени); Томск, 19-20 мая 2017 г.
