Введение 4
1 RQ-система M/M/1 с р-настойчивыми заявками 6
1.1 Математическая модель RQ-системы M/M/1 с р-настойчивыми
заявками 6
1.2 Метод характеристических функций. Распределение вероятностей числа
заявок на орбите 7
1.3 Метод асимптотически-диффузионного анализа 8
1.3.1 Получение коэффициента переноса 8
1.3.2 Центрирование и получение коэффициента диффузии 10
1.3.3 Построение диффузионной аппроксимации 15
1.3.4 Реализация алгоритма построения распределения вероятностей числа
заявок на орбите 17
1.4 Метод асимптотического анализа 19
1.4.1 Получение асимптотики первого порядка 19
1.4.2 Получение асимптотики второго порядка 21
1.4.3 Реализация алгоритма построения распределения вероятностей числа
заявок на орбите 24
1.5 Допредельное исследование 26
1.5.1 Реализация алгоритма построения распределения вероятностей числа
заявок на орбите 27
1.6 Сравнение результатов и выводы по главе 1 29
2 RQ-система M/M/1 с р-настойчивыми заявками и ненадежным
прибором 36
2.1 Математическая модель RQ-системы M/M/1 с р-настойчивыми заявками и
ненадежным прибором 36
2.2 Метод характеристических функций. Распределение вероятностей числа
заявок на орбите 38
2.3 Метод асимптотически-диффузионного анализа 39
2.3.1 Получение коэффициента переноса 39
2.3.2 Центрирование и получение коэффициента диффузии 41
2.3.3 Построение диффузионной аппроксимации 46
2.3.4 Реализация алгоритма построения распределения вероятностей числа
заявок на орбите 48
2.4 Допредельное исследование 50
2.4.1 Реализация алгоритма построения распределения вероятностей числа
заявок на орбите 51
2.5 Сравнение результатов и выводы по главе 2 53
Заключение 57
Список использованной литературы 58
Приложение А Код программы для раздела 1.3.4 61
Приложение Б Код программы для раздела 1.4.3 62
Приложение В Код программы для раздела 1.5.1 63
Приложение Г Код программы для раздела 2.3.4 64
Приложение Д Код программы для раздела 2.4.1 65
В настоящее время RQ-системы, или системы массового обслуживания с повторными обращениями заявок к прибору, наиболее адекватно описывают реальные модели телекоммуникационных систем и сетей. Подтверждением этого является большое количество исследований и научных публикаций, посвященных изучению RQ-систем [1-10].
Наличие повторных обращений заявок к прибору - это особенность данных моделей (RQ-систем). Она означает, что спустя некоторое случайное время после неудачной попытки получить обслуживание, заявка вновь обращается к прибору. Неудачные попытки получить обслуживание могут быть вызваны как отсутствием свободных приборов, так и техническими неполадками [1-7].
В работах [2, 6, 11, 12] были исследованы RQ-системы, в которых заявка после неудачной попытки получить обслуживание с вероятностью (1-р) покидает систему и с вероятностью р уходит на орбиту. Такой эффект будем называть р-настойчивостью. Некоторые авторы [13-22] под р-настойчивыми заявками понимают «нетерпеливые» заявки, которые, находясь на орбите, покидают систему после случайного времени, не обязательно обращаясь ещё раз к прибору за обслуживанием.
Для изучения более реалистичной системы, в настоящей работе была исследована RQ-система с ненадежным прибором - система, в которой обслуживающий прибор может выходить из строя и восстанавливаться в течение случайного времени. Анализу RQ-систем с ненадежным прибором посвящены работы [23-29].
Основными методами исследования RQ-систем являются такие методы как: матричный метод [7, 30-32], численный метод [5, 33, 34], имитационное
моделирование. Так как точные аналитические формулы удается получить лишь для самых простых моделей [6, 7], в настоящей работе используется метод асимптотически-диффузионного анализа, который хорошо зарекомендовал себя в случаях, когда допредельное исследование системы невозможно. Метод асимптотически-диффузионного анализа является модификацией метода асимптотического анализа, и так как разработан относительно недавно, требует дополнительных исследований.
В настоящей работе разработан метод асимптотически-диффузионного анализа и метод асимптотического анализа для: RQ-системы M/M/1 с р-настойчивыми заявками и RQ-системы M/M/1 с р-настойчивыми заявками и ненадежным прибором в условии большой задержки заявки на орбите, - и найдены распределения вероятностей числа заявок на орбите в указанных системах. Полученные результаты новые, аналогов нет.
В первой главе была исследована RQ-система с р-настойчивыми заявками:
1) методом асимптотически-диффузионного анализа;
2) методом асимптотического анализа;
3) численным методом.
Был реализован алгоритм построения распределения вероятностей числа заявок на орбите для каждого метода. В качестве асимптотического условия было взято условие долгой задержки на орбите (а ^ 0). Построены графики, а также таблицы с результатами сравнения методов с помощью расстояния Колмогорова. Проведен анализ результатов и сделаны выводы о области применимости полученных результатов.
В второй главе была исследована RQ-система с р-настойчивыми заявками и ненадежным прибором:
1) методом асимптотически-диффузионного анализа;
2) численным методом.
Был реализован алгоритм построения распределения вероятностей числа заявок на орбите для каждого метода. В качестве асимптотического условия было взято условие долгой задержки на орбите (а ^ 0). Построены графики, а также таблица с результатами сравнения методов с помощью расстояния Колмогорова. Проведен анализ результатов и сделаны выводы об области применимости полученных результатов.
В дальнейшем планируется:
1) исследовать RQ-систему M/M/1 c р-настойчивыми заявками и ненадежным прибором методом асимптотического анализа, сравнить с результатами, полученными в данной работе;
2) исследовать значение загрузки системы, начиная с которого расстояние Колмогорова растет с ростом загрузки при фиксированном значении а.
