Введение 3
1. Основные понятия цифровой обработки сигналов 4
2. Преобразование Фурье и ряды Фурье 6
3. Базисные сплайны и их свойства 13
4. Формулы непрерывного вейвлет-преобразования, примеры вейвлетов 25
5. Основы кратномасштабного вейвлет-анализа 31
Заключение 51
Список литературы 52
Приложение 1 54
Приложение 2 57
Приложение 3 62
Термин вейвлет можно перевести с английского языка как «всплеск» [1-4]. Вейвлет-анализ является востребованным разделом математики, так как имеет широкое практическое применение. Такой анализ используется при решении широкого спектра задач: квантовой механики, сейсмической геофизики, распознавания речи, обработки изображений и сжатия данных, компьютерной безопасности и анализа кровяного давления, исследования климата и анализа ДНК, предсказания и предотвращения возможных катастроф, выявления и прогнозирования экономических и социальных явлений. Значительный интерес представляет применение вейвлетов для предварительной обработки данных при обучении нейросетей, для решения краевых задач, а также создания квантовых алгоритмов вейвлет- преобразования нестационарных сигналов и изображений. Основной идеей вейвлет-анализа является разделение исходного потока информации на два потока - средние значения и быстроменяющаяся часть. Вейвлет- представление проектирует одномерный сигнал, являющийся функцией только времени, на плоскость время-частота, что позволяет увидеть изменение во времени его спектральных свойств, в отличии от преобразования Фурье, которое позволяет рассматривать сигнал только либо во временной области, либо в частотной. В-сплайны являются одним из источников построения вейвлетов.
Освоение, совершенствование и применение математического моделирования структуры сложных нестационарных сигналов и изображений с помощью вейвлет-преобразования является составной частью методологии мягких вычислений и вычислительного интеллекта [5-7].
В работе рассмотрена одна из современных технологий анализа сигналов с помощью КМА, использующая В-сплайны [24]. В отличии от анализа на основе преобразования Фурье, кратномасштабный вейвлет-анализ позволяет рассматривать одновременно как медленные компоненты сигнала, так и быстрые. Он позволяет выделять особенности сигнала, рассматривать сигнал с разной точностью детализации и сглаживать сигнал путём введения пороговой фильтрации. Однако решение о том, каким выбрать пороговое значение зависит от априорной информации о сигнале, а некорректный выбор этого значения может привести к ошибочной интерпретации свойств сигнала.
Результаты проведенных расчетов, позволяют сделать вывод о том, что КМА может применяться к анализу сигналов различной природы.
