Тема: Численное решение коэффициентных обратных задач с помощью итерационного метода сопряженных градиентов

Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Это связано с необходимостью разработки методов для решения прикладных проблем в различных областях естествознания, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Целью проведения экспериментов в науке и технике является изучений свойств объекта или процессов, которые интересны исследователю. При этом иногда возникают трудности, при которых объект недоступен для изучения, либо же наблюдения требует больших экономических затрат. Примером могут служить исследования звезд в астрофизике, изучение внутренних органов в медицине или поиск месторождения полезных ископаемых. Общей чертой описанных выше задач является необходимость сделать вывод о внутренних связях явления или процесса по дополнительным косвенным измерениям. В таких задачах нужно определить причину, зная о полученных в результате наблюдения следствиях. Естественно называть подобные задачи обратными. Важной особенностью таких задач является то, что исходные данные являются приближенными и часто содержат погрешность. Поэтому методы решения обратных задач должны быть устойчивыми к малым изменениям в исходных данных [1].
При решении дифференциальных уравнений с частными производными формулируют дополнительные граничные и начальные условия. Это необходимо для того, чтобы из множества возможных решений выделить искомое. С этим связано понятие корректной постановки задачи, введённое Ж. Адамаром (корректность в классическом смысле) [2]. Задача называется корректно поставленной, если:
1. решение задачи существует,
2. это решение единственно,
3. решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
Важную роль играет именно третье условие корректности, потому что оно обеспечивает устойчивость. Под входными данными подразумеваются коэффициенты уравнения, правая часть, граничные и начальные данные, которые были получены в ходе эксперимента и известны с погрешностью. Естественно предположить, что обратные задачи будут некорректными. Но данное соображение нельзя рассматривать как факт, верный для любой обратной задачи. Оно лишь выражает тенденцию, характерную для данного типа задач.
Обратные задачи делятся на коэффициентные обратные задачи (неизвестны коэффициенты уравнения или правая часть уравнения), граничные обратные задачи (неизвестны граничные условия) и эволюционные обратные задачи (неизвестны начальные условия) [2].
При численном решение обратных задач часто используются следующие методы: метод регуляризации Тихонова [2], метод квазиобращений[2], метод невязок[1]. А так же с большим успехом применяются итерационные методы: метод скорейшего спуска[3], метод простой итерации[4], метод сопряженных градиентов[3], в том числе и метод Флетчера-Ривса[3] и др.
В теории обратных задача сформировался ряд направлений, обусловленных как различными сферами ее приложений, так и типами математических постановок обратных задач. Число научных публикаций по теории обратных задач и ее приложений очень велико. Многие из полученных результатов нашли своё отражение в монографиях, в которых рассмотрены как общие вопросы теории, так и ее специальные разделы, посвящённые конкретным направлениям исследований.
Целью данной работы является разработка эффективного метода решения коэффициентной обратной задачи с помощью метода сопряженных градиентов.

Купить

В данной работе получено решение одной коэффициентной обратной задачи. Для ее решения предлагается метод, основанный на алгоритме сопряженных градиентов Флетчера-Ривса. Достоинствами метода Флетчера-Ривса является хорошая скорость сходимости и малый объем памяти необходимый для хранения информации. Для исследования ускорения вычислений использовались технологии параллельного программирования OpenMP и ОрепАСС. Получено ускорение вычислений для OpenMP программы в 7.3 раза и OpenACC в 3.4 раза. Изучено влияние начального приближения метода дихотомии на скорость сходимости всей процедуры. Было показано, что узким местом построенной процедуры является метод дихотомии для поиска оптимального шага в направлении антиградиента.
Купить