Аннотация 2
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Численные методы в задачах теплопроводности 7
1.1 Постановка задачи теплопереноса 7
1.2 Численные методы в задачах теплопроводности 8
1.3 Определение аппроксимации и погрешности 10
1.4 Устойчивость и сходимость разностной схемы 12
1.5 Аппроксимация граничных условий 13
1.6 Плотность внутреннего источника теплоты 18
2 Проведение верификации с помощью метода конечных
разностей 20
2.1 Определение верификации 20
2.2 Основы метода конечных элементов 21
2.3 Построение математической модели 22
3 Применение метода конечных разностей в задачах
теплопроводности 26
3.1 Постановка задачи теплопроводности 26
3.2 Программная реализация алгоритма решения 27
3.3 Определение числа Куранта для задачи с граничными
условиями первого рода 31
3.4 Определение устойчивости задачи с граничным условием
второго рода 35
3.5 Постановка задачи теплопроводности для двух
контактирующих пластин 38
3.6 Анализ сеточной сходимости метода конечных разностей 39
3.7 Верификация алгоритма решения 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
ЛИТЕРАТУРА 50
Появление и развитие высокопроизводительной вычислительной техники, а также САПР упростил инженерный анализ задач теплопереноса. Благодаря им стало возможным решение различных нестационарных пространственных задач. Но все методы, используемые в САПР, являются численными, поэтому важно учитывать их устойчивость и сходимость. Для того, чтобы приближённый метод, полученный в различных программных комплексах, действительно решал задачу теплопереноса, исследователю необходимо знать и понимать условности численных методов, которые используются в САПР.
Мы будем проводить анализ приближённых методов на основе метода конечных разностей. Данный метод является наиболее распространённым и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений. [1, С. 32].
В настоящей работе нам предстоит провести анализ приближённых методов, для этого нам потребуется написать программу численного решения задачи, проанализировать данный метод при различных условиях и сравнить его с решением, полученным в ПК Ansys. Таким образом, нам предстоит провести формальную верификацию метода конечных разностей.
Цель: реализация алгоритма решения задач теплопереноса с помощью метода конечных разностей и сравнение полученного метода с методом конечных элементов в ПК Ansys.
Задачи:
1. Разработка алгоритма метода конечных разностей для системы из двух тел.
2. Анализ сеточной сходимости предложенного метода.
3. Верификация полученного метода решения задач
теплопроводности.
Подводя итоги данной работы, мы разобрали алгоритм работы численных методов решения задач теплопроводности. Мы оценили влияние порядка аппроксимации на точность получаемого решения, а также проанализировали условия устойчивости и сходимости.
Мы убедились, что сходимость решения может достигаться корректной аппроксимацией и выполнением условия устойчивости. Для этого мы рассмотрели поведение системы при различных значениях числа Куранта.
Нами также были сравнены решения, полученные с помощью метода конечных разностей, с решением, полученным в ПК Ansys. Данные, полученные обоими способами, имеют малую степень отклонения, поэтому можно считать, что полученный нами алгоритм решения задач теплопроводности методом конечных разностей прошёл верификацию.
