АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 3
1 О преобразовании сигналов 4
1.1 Основные понятия теории колебаний 4
1.2 Фильтрация и сглаживание сигнала 12
1.3 О вейвлет-сжатии изображений 19
2 Интерполяционные сплайны 25
2.1 Базисные функции сплайнов 25
2.2 Масштабирующие функции сплайнов 29
3 Вейвлеты Хаара и их свойства 35
3.1 Основные формулы непрерывного вейвлет-преобразования 35
3.2 Ортонормированная система базисных функций 43
3.3 Вычисление коэффициентов аппроксимации и детализации 49
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 74
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 75
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Листинг кода программы обработки сигналов на основе вейвлета Хаара 78
Термин «вейвлет» (от англ. - маленькая волна) появился сравнительно недавно - его ввели Гроссман и Морле в середине 80-х годов в связи с анализом свойств сейсемических и акустических сигналов [1].
В настоящее время большое внимание уделяется повышению точности анализа сиг¬налов. На практике сигнал всегда содержит не только полезную информацию, но и следы некоторых внешних воздействий (помехи, шум или аномалии), что добавляет дополнитель¬ную сложность в процесс обработки данных. Вейвлет-анализ позволяет не только выделять интересующую составляющую исходного потока информации, но и анализировать харак¬терные для него параметры (амплитуда, длительность, экстремальные точки). Сегодня он является одним из востребованных разделов математики и ее приложений, является состав¬ной частью технологии мягких вычислений [2-12]. Такой анализ применяется, например, при обработке изображений и сжатии данных, предсказании и предотвращении возможных катастроф, прогнозировании экономических и социальных явлений, подготовке данных для нейронных сетей, создании и функционировании цифровых двойников, решении краевых задач и др. В отличие от теории Фурье, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерное представление исследуемого одномерного сигнала.
Кратномасштабный вейвлет-анализ, который основан на последовательности вло-женных подпространств, позволяет анализировать изображение одновременно для разных масштабов [13, 14]. Основной идеей этой теории является разделение исходного сигнала на два потока А и В, один из которых (А) отображает средние значения, а другой (В) напро¬тив - быстроменяющуюся часть потока.
Для случая двух переменных вейвлеты можно получить используя тензорное произ¬ведение [15]. Естественным обобщением вейвлетов в двумерном случае являются «curvelets» (кривые) и «shearlets» (ширлеты), которые позволяют учитывать анизотропные особенности функций [16, 17]. Вейвлет-анализ можно применять и для предварительной обработки данных в системах искусственного интеллекта [18, 19].
В работе рассматриваются свойства и примеры применения ортонормированных ба¬зисных функций Хаара для анализа и сглаживания сигналов.
В работе рассмотрены основные понятия цифрового анализа сигналов.
Приведены теоретические основы непрерывного и кратномасштабного вейвлет-пре- образования Хаара для нестационарных сигналов. Проанализированы свойства масштаби¬рующих функций кардинальных сплайнов и вейвлетов Хаара.
На простых примерах, с использованием пакета MATLAB, рассматриваются особен¬ности непрерывного вейвлет-анализа.
На основе кратномасштабного вейвлет-анализа получены расчетные формулы, раз-работан алгоритм получения прямого и обратного разложения сигнала, его фильтрации в зависимости от параметра возмущения в>0.
В результате расчетов установлено, что с увеличением порога обнуления детализи-рующих коэффициентов среднеквадратичное сглаживание ФНЧ возрастает.
