УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 5
1.1 Определение кольца и примеры 5
1.2 Поля и тела 7
1.3 Специальные элементы колец 8
1.4 Подкольца, идеалы, фактор - кольца 11
1.5 Гомоморфизмы и изоморфизмы колец 15
1.6 Произведения колец 16
2. КОЛЬЦА ФУНКЦИЙ 17
2.1 Кольцо эндоморфизмов/операторов 17
2.2 Кольцо R-эндоморфизмов 18
2.3 Кольцо функций 18
2.4 Замена переменной 19
2.5 Идеалы в кольце функций 20
2.6 Фактор - кольца 21
3. ЗАДАЧИ 22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 24
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 25
Теория колец — раздел общей алгебры, изучающий свойства колец — алгебраических структур со сложением и умножением, схожими по поведению со сложением и умножением чисел. Выделяются два раздела теории колец: изучение коммутативных и некоммутативных колец.
Коммутативные кольца в целом лучше исследованы, они являются основным предметом изучения коммутативной алгебры, которая является важной частью современной математики, обеспечивающей инструментальные средства для развития алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Эти три теории настолько тесно связаны, что не всегда возможно указание, к какой области относится тот или иной результат.
Поведение некоммутативных колец более сложно, довольно долгое время их теория развивалась независимо от коммутативной алгебры, однако в конце XX века появилась тенденция выстраивать эту теорию более геометричным образом, рассматривая такие кольца как кольца функций на (несуществующих) «некоммутативных пространствах». Этот тренд зародился в 1980-х годах с появлением некоммутативной геометрии и открытием квантовых групп, благодаря применению методов этих теорий достигнуто лучшее понимание некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец.
Целью данной работы было ознакомление с одним из важнейших классов теории колец, а именно с кольцами функций. Рассмотрены основные определения и свойства колец.
Для лучшего осмысления теории, в конце работы представлены примеры применения изученного материала к решению конкретных задач.
Осталось еще много вопросов и тем о кольцах функций, которые можно исследовать дальше. Особенно важны кольца непрерывных, дифференцируемых и т.п. функций. Здесь алгебра пересекается с функциональным анализом.
