Формальные матрицы применяются во многих областях математики. Особенно актуальны исследования формальных, или обобщенных, матриц в алгебре и ее приложениях. Элементы таких матриц могут принадлежать разным кольцам. Формальные матрицы образуют кольцо относительно поэлементного сложения и умножения, близкого к обычной операции матричного умножения. Свойства и строение таких колец играют важную роль в понимании строения произвольных колец. Данная тема интересует отечественных и зарубежных специалистов. Также интересной темой является взаимосвязь формальных матриц и эндоморфизмов различных групп. В работе рассматриваются конечные p-группы ранга 2 и 3.
Цель работы - представить эндоморфизмы конечных p-групп ранга 2 и 3 формальными матрицами и изучить свойства этих матриц.
ВВ данной работе эндоморфизмы конечных p-групп ранга 2 и 3 представляются соответственно обобщенными (2x2)- и (3х3)-матрицами, элементами которых являются подходящие классы вычетов. Для таких матриц мы вводим понятие определителя, свойства которого оказываются аналогичными свойствам определителей обычных матриц (в частности, определитель произведения обобщенных матриц равен произведению их определителей). Получен критерий обратимости обобщенных матриц для p-групп ранга 2 и для p-групп ранга 3 вида Zpm ф Zp ф Zp, где m > n > 0.
