Список основных понятий 3
Введение 5
1 Простейшая математическая модель эпидемии 6
2 Математическая модель вирусного иммунного заболевания 8
2.1 О создателе модели 8
2.2 Физическая постановка задачи 10
2.3 Построение математической модели 16
3 Исследование модели вирусного иммунного заболевания 26
3.1 Переход к безразмерному виду 26
3.2 Поиск стационарных решений 27
3.4 Исследование на жесткость 32
4 Вычислительный эксперимент на ПЭВМ 35
4.1 Одношаговые методы Эйлера и Рунге-Кутты 35
4.1.1 Метод Эйлера 35
4.1.2 Методы Рунге-Кутты 39
4.2 Численные расчеты и обсуждение результатов 48
Заключение 58
Список используемой литературы 60
Математическое моделирование в иммунологии и медицине является одним из актуальных направлений научных исследований. Активное применение математики в медицине началось во второй половине 20 века. Математические модели позволяют хорошо изучить какое-либо явление, но могут рассматриваться только как приближение к реальному процессу. Однако интерес к использованию моделирования в медицине постоянно растет. Математическим моделированием в медицине занимались разные ученые: Г. И. Марчук, Н. Бейли, Ахмеров Р. Р., И. Б. Петров и т.д. [2 - 5].
Целью данной работы является изучение упрощенной модели вирусного заболевания, построенной Г.И. Марчуком [1].
Работа состоит из четырех разделов и заключения. В первом разделе рассматривается простейшая модель эпидемии и ее применение в вирусном маркетинге [3, 6].
Во втором разделе представлена биография создателя модели Г. И. Марчука. Рассмотрены основные компоненты иммунного ответа и описано построение общей модели вирусного заболевания, а также ее упрощение.
В третьем разделе изучаемая модель приводится к безразмерному виду. Находятся стационарные решения и исследуются на устойчивость с помощью метода Рауса-Гурвица. Тем самым определяются ограничения на безразмерные параметры модели. Условия на безразмерные коэффициенты переводятся на язык физического процесса, и формулируется теорема об иммунологическом процессе. Модель также исследуется на жесткость [7].
В четвертом разделе описывается вычислительный эксперимент на ПЭВМ. Система ОДУ решается одношаговыми численными методами Рунге- Кутты первого, третьего и четвертого порядков точности при заданных параметрах модели. Результаты расчетов оформлены в виде графиков, которые приводятся по тексту работы. Подсчитаны относительные погрешности, и сделан вывод о выборе оптимального количества узлов сетки.
В бакалаврской работе исследована модель вирусного заболевания с применением численных методов. Показано применение простейшей математической модели эпидемии в вирусном маркетинге. Приведены сведения о создателе общей модели вирусного заболевания Г. И. Марчуке.
Описаны основные компоненты иммунного ответа организма, связанного с образованием антител. Подробно дано построение общей модели вирусного заболевания и ее упрощенного варианта, когда иммунологический процесс основан на взаимодействии антигенов с антителами. Именно эта упрощенная модель изучена в данной работе: осуществлен переход к безразмерному виду, найдены стационарные решения, которые затем исследованы на устойчивость. Получены ограничения на безразмерные параметры модели, дающие возможность их подбора при проведении численных расчетов.
Вычислительный эксперимент на компьютере выполнен с применением одношаговых методов Рунге-Кутты первого, третьего и четвертого порядков точности. В работе приведено описание метода Эйлера и методов Рунге- Кутты. Результаты расчетов, полученные с помощью методов Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков точности, оформлены в виде графиков и характеризуют поведение концентрации антигенов, антител, плазмоклеток, массы пораженного органа и В-лимфоцитов с течением времени. Графики представлены по тексту работы, подробно описаны и показывают устойчивый и неустойчивый характер поведения решений. Произведено сравнение численных результатов, полученных методом Эйлера и методами Рунге- Кутты третьего и четвертого порядков точности, путем анализа относительных погрешностей. Сделан вывод о выборе оптимального шага расчета. В дальнейших исследованиях можно рекомендовать использование абсолютно устойчивых неявных численных методов для решения поставленной задачи.
Результаты работы дважды докладывались на студенческих конференциях и опубликованы в виде тезисов. Работа будет полезна всем специалистам, занимающимся математическим моделированием в иммунологии.
