ВВЕДЕНИЕ 3
1 Обзор задач с подвижной границей 5
2 Постановка задачи 6
2.1 Физическая постановка задачи 6
2.2 Математическая постановка задачи 7
3 Численные методы решения задачи Стефана для уравнения теплопроводности 8
3.1 Метод ловли фронта в узел пространственной сетки 8
3.2 Исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости метода ловли фронта 9
3.3 Метод преобразования координат 17
3.4 Исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости метода преобразования
координат 20
4 Результаты численного моделирования промерзания грунта 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 33
Почва покрывает всю поверхность нашей планеты и играет значительную роль в жизни человека. Основные ее свойства - температура, влажность, химический состав, а также физические размеры ее частиц и др. В данной работе рассматривается задача о распределении температуры в грунте и отслеживании точки промерзания грунта. Области, в которых важно учитывать промерзание грунта - численный прогноз погоды, сельское хозяйство, строительство и др.
Известно, что тепловые потоки от почвы оказывают большое влияние на температуру воздуха вблизи земной поверхности. В настоящее время для численных расчетов прогноза погоды широко используются различные параметризации, которые позволяют существенно сократить время, необходимое для вычислений. Это получается за счет замены уравнений теплопроводности некоторыми их приближениями. Однако в весенне-осенний период, когда температуры земли и воздуха сильно отличаются и происходит частое таяние и замерзание, параметризации работают неточно. Отсюда следует необходимость построения математической модели, которая дает хорошую точность распределения температуры в почве вне зависимости от времени года.
Другой отраслью применения модели промерзания грунта является сельское хозяйство. В странах Западной Европы и Америки такие модели применяются для определения температуры почвы, а также используются модели для расчета влажности почвы, которые позволяют в засушливые периоды оперативно принимать решения о поливе.
В строительстве при разработке проектов новых зданий всегда учитывается множество факторов, связанных с грунтом. К ним относятся и залегание подземных вод, и химический состав, и глубина промерзания. Ее важно учитывать, потому что изменения в температуре и влажности почвы могут вызвать повреждение фундамента и обрушение всего строения.
Промерзание грунта является таким процессом, при котором коэффициент теплопроводности не остается постоянным, а меняется с течением времени в зависимости от температуры. В этом случае промерзшая и талая зоны грунта будут разделены между собой границей фазового перехода, и мы приходим к задаче Стефана. Задача Стефана (или задачей с подвижной границей) возникает при решении уравнений диффузии, когда происходит фазовый переход вещества из одного состояния в другое, и в модели необходимо учитывать положение границы фазового перехода в каждый момент времени.
Задачи с подвижной границей возникают во многих практических отраслях, таких как производство полупроводников, металла, пластика, стекла, нефти, химические и диффузионные процессы, астрофизика, метеорология, геофизика.
В работе рассмотрены два численных метода решения задачи Стефана, проведено исследование их аппроксимации, устойчивости, сходимости, а также представлено сравнение результатов численной реализации вышеуказанных методов.
Полученные результаты показали преимущество метода преобразования координат по сравнению с методом ловли фронта. Данное преимущество заключается в возможности выбора произвольного шага по времени, а также в возможности задавать разные сетки в разных областях. Полученную математическую модель промерзания грунта с методом преобразования координат после уточнения некоторых параметров и учета дополнительных физических процессов, протекающих в почве, можно использовать в мезомасштабных моделях.
