Реферат
Введение
1. Разностная краевая задача для эллиптического уравнения с постоянными
коэффициентами 6
1.1 Построение разностной схемы 6
1.2 Некоторые свойства разностного оператора 8
1.3 Метод переменных направлений 11
1.4 Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике 13
2. Разностная краевая задача для эллиптического уравнения с переменными
коэффициентами 17
2.1 Построение разностной схемы 17
2.2 Метод переменных направлений в случае переменных операторов 19
2.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод 22
2.4 Вычислительный алгоритм попеременно-треугольного метода 25
3. Результаты численных расчетов 27
3.1 Метод переменных направлений и попеременно-треугольный метод для решения дифференциальных задач с постоянными коэффициентами 27
3.2 Метод переменных направлений и попеременно-треугольный метод для решения дифференциальных задач с переменными коэффициентами 28
Заключение 31
Список литературы 32
Задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и граничных условий, обеспечивающих существование и единственность решения.
Применение различных численных методов для решения дифференциальных уравнений приводит к системе линейных алгебраических уравнений специального вида - разностным уравнениям. Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи.
Существует много различных численных методов для решения системы линейных алгебраических уравнений, они делятся на две группы: итерационные и прямые. В прямых методах решение у в системе уравнений Ау = f находится за конечное число арифметических действий. Итерационные методы состоят в том, что решение у находится как предел к ^ т последовательных приближений ук, где к - номер итерации. Как правило, за конечное число итераций этот предел не достигается. Обычно задается некоторое малое число г > 0 (точность) и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка ||у&+1 — уД| < г. Если новая итерация yk+1 вычисляется через т предыдущих итераций ук,у^_1, ...,ук-т+1, то итерационный метод называется (т + 1) - слойным. Отсюда видна аналогия итерационных схем с
разностными схемами для нестационарных задач. Поэтому и теория итерационных методов фактически является специальным разделом общей теории устойчивости операторно-разностных схем.
В настоящее время предложено множество численных методов решения разностных уравнений, большинство из них рассчитано на матрицы специального вида. Выбор того или иного метода для решения задачи зависит от некоторых факторов: число арифметических операций для получения решения, устойчивость по отношению к ошибкам округления и объем памяти ЭВМ для реализации численного алгоритма.
Одним из первых эффективных методов решения разностных задач был метод, разработанный Д. Писманом и Дж. Речфордом, получивший название метод переменных направлений [1-4]. Он основывается на разложении исходной пятидиагональной матрицы на сумму двух трехдиагональных, каждая из которых соответсвует аппроксимации второй производной и легко обращается методом прогонки. Эффективность метода, устанавливается в предположении, что матрицы самосопряженны и положительно определенны (не обязательно перестановочны).
Другой вариант метода переменных направлений - попеременно-треугольный метод (ПТМ), разработанный академиком А. А. Самарским [2-4]. Здесь матрица разбивается на сумму двух треугольных матриц, и реализация итерационных формул осуществляется по явным рекуррентным формулам. Модификация ПТМ, предложенная А. Б. Кучеровым и Е. С. Николаевым [5,6], позволяет ослабить зависимость числа итераций метода от экстремальных свойств коэффициентов дифференциального уравнения.
В данной работе рассматриваются два итерационных метода: метод переменных направлений и модифицированный попеременно-треугольный метод, для решения систем линейных алгебраических уравнений. Записываются разностные схемы для решения дифференциальных задач эллиптического типа с постоянными и переменными коэффициентами. На модельных задачах были произведены расчеты, показывающие сходимость численного решения разностных задач к их точному решению.
В данной работе была изучена общая теория метода переменных направлений и модифицированного попеременно-треугольного метода для решения систем линейных алгебраических уравнений. Построены разностные схемы второго порядка аппроксимации для решения краевой задачи эллиптического типа с постоянными коэффициентами и с переменными коэффициентами в прямоугольной области. Разработаны численные алгоритмы решения краевых задач методом переменных направлений и модифицированным попеременно-треугольным методом. На модельной задаче была показана сходимость решения разностных задач к их точному решению. Исследована зависимость числа итераций от размерности разностной сетки и в зависимости от экстремальных свойств коэффициентов ка(х), а = 1,2. Анализ проведенных расчетов показывает высокую эффективность метода переменных направлений для дифференциальной задачи с постоянными коэффициентами, модифицированный попеременно-треугольный метод эффективен для задачи с переменными коэффициентами.
