Введение 3
1. Кольца. Типы полец. Поля 4
1.1. Общее понятие кольца 4
1.2. Сравнения. Классы вычетов 6
1.3. Гомоморфизмы колец, идеалы колец и факторкольца 6
1.3.1. Гомоморфизмы колец 6
1.3.2. Идеалы колец и факторкольца 7
1.4. Типы колец. Поля. Характеристика поля 10
1.4.1. Характеристика поля 13
1.5. Единственность поля комплексных чисел 15
1.6. Делимость в кольцах, общий подход 16
1.7. НОД и НОК в кольцах 18
1.8. Евклидовы кольца и их факториальность 19
1.8.1 Алгоритм Евклида в вклидовых кольцах 19
1.9. Некоторые примеры колец и полей 22
1.10. Квадратичные кольца 23
1.11. Квадратичные поля 25
Заключение 26
Список используемой литературы 27
Активное развитие алгебры в качестве науки началось в XIX веке. Одной из основных проблем теории чисел в 1860—1870-е годы являлось построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел. Решение этой задачи описывалось Рихардом Дедекиндом в 1871 году в публикации «X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле». В данной работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, так же в этом контексте были показаны понятия модуля и идеала.
Галуа ещё неявно работал в 1830 году над понятием о поле, воспользовавшись идеей алгебраического расширения поля ему удалось отыскать необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной возможно было решить в радикалах.
Явным же образом определение термина поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Korper (тело). Само же понятие «поле» (англ. field) ввёл Элиаким Гастингс Мур в 1893 году, он являлся американским математиком.
Цель: изучить теорию квадратичных колец и полей.
Задачи:
1) рассмотреть общую теорию колец и полей;
2) дать описание квадратичным кольцам и полям;
3) показать некоторые примеры, связанные с квадратичными кольцами и полями.
Методы исследования: использовались методы теории колец и полей.
В дипломной работе с помощью теоретического анализа были изучены:
1) общие понятия и определения колец и полей;
2) квадратичные кольца;
3) квадратичные поля.
В некоторых местах приводились наглядные примеры для лучшего понимания.
