ведение
Задача, построения конформного отображения одной одпосвязпой области на. другую - одна из основных в геометрической теории функций комплексного переменного. Существование такого отображения гарантируется теоремой Римана. Однако теорема Римана не дает конструктивного способа, получения гакого отображения. Ввиду сложности задачи универсального метода, построения отображения нет, существует ряд численных методов, а также методы, которые условно можно считать аналитическими: эти методы сводят задачу построения отображения к задаче решения некоторой системы уравнений, интегральной или дифференциальной. Развитие техники построения конформных отображений по-прежнему актуально ввиду наличия обширных приложений в различных задачах математической физики.
Для аналитического представления отображения канонической области (круг, полуплоскость) на многоугольник с границей, состоящей из отрезков прямых, используется формула Кристоффеля-Шварца [1].
Формула (1) содержит неизвестные, так называемые, акцессорные параметры а-[,...,ап, являющиеся прообразами вершин заданного многоугольника при искомом отображении.
Один из методов построения конформных отображений предложил Томский математик Павел Порфирьевич Куфарев [2]. При построении конформного отображения методом П.П. Куфарева искомое отображение f0 = /0(г) вкладывается в однонарамет- рическое семейство конформных отображений f = f(z,t) круга (или полуплоскости) на семейство областей, получаемое из некоторой односвязной области проведением разреза по отрезку прямой от некоторой точки границы внутрь области. Параметр t связан с длиной проводимого разреза, при этом акцессорные параметры семейства отображений гладко зависят от параметра t. Семейство отображений f можно записать с помощью формулы Кристоффеля-Шварца (которую можно рассматривать как дифференциальное уравнение для семейства f). С другой стороны, такое семейство отображений / удо-
3
влстворяст дифференциальному уравнению Левнера. Такая «переполненность» дифференциальными уравнениями семейства f позволяет полупить обыкновенные дифференциальные уравнения для параметров семейства.
Дифференциальное уравнение Левнера. ввел Карл Ловнер в своей статье 1923 года |3|. основав параметрический метод и доказав первый неэлемеитарный случай знаменитой гипотезы Бибербаха: если f однолистная функция, определенная на единичном круге в комплексной плоскости, с разложением в начале координат f(z) = - + Г]-2 _|_ С2-.2 , тогда |сп| / п для всех п > 1. Левиер доказал, что |с3| / 3.
Как известно, гипотеза Бибербаха была окончательно доказана Л. де Бранжем в 1985 г. В своем доказательстве Бранж опирается на идеи Левнера.
Первоначальное уравнение Левнера описывало семейство отображений единичного круга на семейство областей, получающееся проведением разреза в комплексной плоскости. Позже было получено уравнение Левнера для полуплоскости (3), (4) в [4] при рассмотрении композиции отображения полуплоскости на круг и отображения круга на область с разрезом, генерируемым радиальным уравнением Левнера и в [5] с помощью формулы Шварца. Уравнение Левнера для полуплоскости часто называют хордовым.
Теорема 2. Пусть f отображает П+ = {z 6 С : Im г > 0} на область /(t) и нормировано так, что композиция w(z,t} = /-1 (f(z, t),to) на бесконечности имеет разложение
co(z,t) = z + - ++ ..., z-^oo. (2
z zl
Тогда отображение f удовлетворяет уравнению Левнера
df(z,t) _ 1 df(z, t)
dt z — A(£) dz
Обратное отображение f 1 = g
Семейство отображений / можно параметризовать по-разному. Параметризация семейства, при которой в разложении (2) коэффициент при г-1 равен t, называется стандартной.
Уравнение Левнера содержит так называемую управляющую функцию — вещественную функцию Л = X(t), являющуюся прообразом подвижного конца разреза при рассматриваемом отображении, параметр t отвечает за длину проведенного разреза. Таким образом, семейство однолистных голоморфных отображений круга (полуплоскости) может быть параметризовано множеством вещественных функций, в том смысле, что каждому голоморфному однолистному отображению соответствует решение уравнение...
