Актуальность темы исследования
Для качественного описания динамики нервной клетки обычно используются так называемые феноменологические модели, представляющие собой различные упрощения модели Ходжкина–Хаксли. Изучению систем
уравнений, описывающих динамику связанных нейронов, посвящено множество работ (A. Hodgkin, A. Huxley, R. FitzHugh, J. Nagumo, J. Rubin, G.B.
Ermentrout, N. Koppel, J. Rinzel и т.д.). Главным свойством выбираемой для
моделирования нервной клетки системы эволюционных уравнений является
наличие у нее устойчивых колебательных решений, соответствующих спайкам нейронов. Объектом изучения данной диссертационной работы является
динамика электрического взаимодействия пары осцилляторов нейронного
типа с запаздыванием в цепи связи между ними. Для описания нервных
клеток выбрана модель ФитцХью–Нагумо, являющаяся упрощением модели Ходжкина-Хаксли и сохраняющая некоторые принципиальные свойства
исходной динамической системы. Данное обстоятельство обеспечивает актуальность проведенного в работе исследования. Важно отметить особую
роль запаздывания в цепи связи между осцилляторами, которое позволяет
объяснить ряд новых эффектов, наблюдаемых в динамике нейросистем.
Исследование проблемы динамики нейроподобных систем часто сопровождается решением двух важных задач. Первая — это проблема синхронизации и десинхронизации колебаний. Решение данной задачи тесно связано с большим количеством медицинских приложений. Вторая задача —
проблема ассоциативного хранения информации (ассоциативная память).
Разрабатываемая ныне модель ассоциативной памяти базируется на сосуществовании у некоторых динамических систем, моделирующих нейронную
сеть, большого количества устойчивых колебательных режимов. Эти устойчивые режимы кодируют (запоминают) информацию и доступны по ключевой последовательности, определяющей начальное состояние системы. Для
решения приведенных выше задач в диссертационной работе проведено изучение простейших ассоциаций нейроподобных осцилляторов с дальнейшим
усложнением связи между ними.
Цели работы
Основная цель диссертационной работы заключается в изучении модели функционирования и взаимодействия нервных клеток импульсного типа. Эта модель представляет собой систему нелинейных дифференциальных
уравнений с запаздыванием. Отдельное внимание уделено роли запаздывания в цепи связи между осцилляторами.
В Заключении обобщаются результаты диссертационной работы, приводятся возможные направления развития и формулируются выводы.
Основные результаты и выводы
1. Выполнен полный локальный анализ системы двух слабо связанных
осцилляторов типа ФитцХью-Нагумо. Показано, что в случае отсутствия запаздывания при подходящем выборе параметров у системы сосуществуют устойчивый синхронный цикл и пара симметричных двухмерных торов.
Изучена динамика пары взаимодействующих осцилляторов ФитцХьюНагумо в двух случаях: с запаздыванием в цепи связи и с несимметричным взаимодействием.
3. Доказано существование и устойчивость релаксационного цикла в
обобщенном уравнении импульсного нейрона с двумя запаздываниями. Построены асимптотические формулы периодического решения.
4. Изучены статистические характеристики разномасштабных колебаний, возникающих в системе связанных осцилляторов с запаздыванием
в цепи связи и без него.
