Оценка стандартных ошибок коэффициента вариации и асимметрии при анализе гидрологических рядов
|
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ
ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ 7
1.1. Метод Монте-Карло 7
1.2. Моделирование чисел с заданным законом распределения 8
1.3. Использование пакета анализа MS Excel для моделирования искусственных
гидрологических рядов 9
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ 12
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ 14
3.1. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из нормального
распределения (C=0) 14
3.2. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из двухпараметрического
гамма-распределения (Cs/Cv= 2) 19
3.3. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при Cs/Cv= 1,5 23
3.4. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при Cs/Cv= 1 25
3.5. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при Cs/Cv= 3 26
3.6. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при значениях Cs/Cv4, 5 и 6 27
3.7. Обобщение результатов исследования стандартных ошибок выборочных
коэффициентов вариации 28
4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВАРИАЦИИ РЕАЛЬНЫХ
ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ (НА ПРИМЕРЕ МАКСИМАЛЬНЫХ РАСХОДОВ РЕК СЕВЕРО-ЗАПАДА РФ) 30
4.1. Особенности формирования максимального стока на реках Северо-Запада РФ 30
4.2. Оценка статистических характеристик максимальных расходов весеннего половодья 31
4.3. Оценка погрешностей выборочных коэффициентов вариации 35
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА АСИММЕТРИИ 37
5.1. Вывод формулы для расчета стандартной ошибки коэффициента асимметрии 39
5.2. Оценка точности формулы Крицкого-Менкеля для расчета стандартной ошибки
коэффициента асимметрии 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
ПРИЛОЖЕНИЕ А - Относительные среднеквадратические ошибки среднего значения в зависимости от Cvи длины выборки при различных значениях Cs/Cv(по результатам моделирования) 48
ПРИЛОЖЕНИЕ Б - Абсолютные среднеквадратические ошибки коэффициента вариации в зависимости от Cvи длины выборки при различных значениях Cs/Cv(по результатам моделирования) 51
ПРИЛОЖЕНИЕ В - Среднеквадратические ошибки выборочных коэффициентов вариации для распределения Пирсона III типа по А.В. Рождественскому при г(1) = 0 55
ПРИЛОЖЕНИЕ Г - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 1 56
ПРИЛОЖЕНИЕ Д - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 1,5 59
ПРИЛОЖЕНИЕ Е - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 2 61
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 3 64
ПРИЛОЖЕНИЕ З - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 4 67
ПРИЛОЖЕНИЕ И - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 5
1. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ
ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ 7
1.1. Метод Монте-Карло 7
1.2. Моделирование чисел с заданным законом распределения 8
1.3. Использование пакета анализа MS Excel для моделирования искусственных
гидрологических рядов 9
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ 12
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ 14
3.1. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из нормального
распределения (C=0) 14
3.2. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из двухпараметрического
гамма-распределения (Cs/Cv= 2) 19
3.3. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при Cs/Cv= 1,5 23
3.4. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при Cs/Cv= 1 25
3.5. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при Cs/Cv= 3 26
3.6. Стандартные ошибки коэффициента вариации для выборок из распределения
Пирсона III типа при значениях Cs/Cv4, 5 и 6 27
3.7. Обобщение результатов исследования стандартных ошибок выборочных
коэффициентов вариации 28
4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВАРИАЦИИ РЕАЛЬНЫХ
ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ (НА ПРИМЕРЕ МАКСИМАЛЬНЫХ РАСХОДОВ РЕК СЕВЕРО-ЗАПАДА РФ) 30
4.1. Особенности формирования максимального стока на реках Северо-Запада РФ 30
4.2. Оценка статистических характеристик максимальных расходов весеннего половодья 31
4.3. Оценка погрешностей выборочных коэффициентов вариации 35
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА АСИММЕТРИИ 37
5.1. Вывод формулы для расчета стандартной ошибки коэффициента асимметрии 39
5.2. Оценка точности формулы Крицкого-Менкеля для расчета стандартной ошибки
коэффициента асимметрии 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
ПРИЛОЖЕНИЕ А - Относительные среднеквадратические ошибки среднего значения в зависимости от Cvи длины выборки при различных значениях Cs/Cv(по результатам моделирования) 48
ПРИЛОЖЕНИЕ Б - Абсолютные среднеквадратические ошибки коэффициента вариации в зависимости от Cvи длины выборки при различных значениях Cs/Cv(по результатам моделирования) 51
ПРИЛОЖЕНИЕ В - Среднеквадратические ошибки выборочных коэффициентов вариации для распределения Пирсона III типа по А.В. Рождественскому при г(1) = 0 55
ПРИЛОЖЕНИЕ Г - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 1 56
ПРИЛОЖЕНИЕ Д - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 1,5 59
ПРИЛОЖЕНИЕ Е - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 2 61
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 3 64
ПРИЛОЖЕНИЕ З - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 4 67
ПРИЛОЖЕНИЕ И - Зависимость стандартной ошибки Cs от Cv при различных значениях длины выборки nи фиксированном значении Cs/Cv = 5
В настоящее время основным нормативным документом, регламентирующим инженерные гидрологические расчеты, является Свод Правил - СП 33-101-2003 «Определение основных расчетных гидрологических характеристик». В соответствии с этим документом выбор расчетной методики зависит от объема имеющейся гидрометеорологической информации. Выделяют три основных случая:
■ расчет при наличии данных гидрометрических наблюдений;
■ расчет при ограниченности данных гидрометрических наблюдений;
■ расчет при отсутствии данных гидрометрических наблюдений.
Продолжительность периода наблюдений считают достаточной, если относительные среднеквадратические погрешности среднего значения и коэффициента вариации не превышают 10% для годового и сезонного стока и 20% - для максимального и минимального стока. При этом в СП 33-101-2003 пред-ставлена формула только для расчета относительной погрешности среднего значения.
Для расчета относительной погрешности коэффициента вариации дана формула для случая, когда отношение коэффициента асимметрии (Cs) к коэффициенту вариации (Cv) равно двум. Для других отношений Cs/Cvрекоменду-ется определять погрешности коэффициента вариации по специальным таблицам, полученным методом статистических испытаний. В работе [12] такие таблицы представлены, но в них приводятся погрешности выборочных значений Cvтолько при Cs/Cvот 1 до 4.
Цель настоящего исследования: разработать формулу для оценки погрешности выборочных значений коэффициента вариации и асимметрии с учетом длины выборки и коэффициента асимметрии.
Для этого решались следующие задачи:
■ Выполнить моделирование искусственных гидрологических рядов различной продолжительности с заданным законом распределения и значениями Cs/Cvот 0 до 6; оценить абсолютные и относительные погрешности среднего значения, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии.
■ По результатам моделирования построить зависимости погрешностей выборочных значений параметров распределения от длины выборки, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии.
■ Представить алгоритм для расчета стандартной ошибки коэффициентов вариации и асимметрии.
Для моделирования искусственных гидрологических рядов использовался метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Расчет параметров распределения выполнен методом моментов. В качестве базового распределения использовалось распределение Пирсона III типа.
Работа состоит из 5 глав введения и заключения.
В первой главе представлена методика моделирования искусственных гидрологических рядов методом Монте-Карло. Описан алгоритм моделирования рядов, принадлежащих распределению Пирсона III типа.
Во второй главе исследуются погрешности выборочных средних значений. Производится сравнение погрешностей, полученных по результатам моделирования и рассчитанных по формуле рекомендуемой СП 33-101-2003.
В третьей главе выполнен анализ погрешностей выборочных коэффициентов вариации. Представлен алгоритм расчета абсолютной и относительной ошибок Cvс учетом длины и асимметрии ряда.
В четвертой главе на примере рядов максимальных расходов рек Северо-Запада РФ выполнена оценка погрешностей коэффициентов вариации по предложенной в настоящей работе методике.
В пятой главе выполнено исследование погрешностей коэффициента асимметрии. Представлен вывод формулы для расчета ошибки коэффициенты асимметрии. Дана оценка точности формулы Крицкого-Менкеля для расчета стандартной ошибки коэффициента асимметрии.
Работа содержит 6 таблиц, 28 рисунков, 9 приложений и список литера-туры из 20 наименований. Общий объем работы 72 страниц.
■ расчет при наличии данных гидрометрических наблюдений;
■ расчет при ограниченности данных гидрометрических наблюдений;
■ расчет при отсутствии данных гидрометрических наблюдений.
Продолжительность периода наблюдений считают достаточной, если относительные среднеквадратические погрешности среднего значения и коэффициента вариации не превышают 10% для годового и сезонного стока и 20% - для максимального и минимального стока. При этом в СП 33-101-2003 пред-ставлена формула только для расчета относительной погрешности среднего значения.
Для расчета относительной погрешности коэффициента вариации дана формула для случая, когда отношение коэффициента асимметрии (Cs) к коэффициенту вариации (Cv) равно двум. Для других отношений Cs/Cvрекоменду-ется определять погрешности коэффициента вариации по специальным таблицам, полученным методом статистических испытаний. В работе [12] такие таблицы представлены, но в них приводятся погрешности выборочных значений Cvтолько при Cs/Cvот 1 до 4.
Цель настоящего исследования: разработать формулу для оценки погрешности выборочных значений коэффициента вариации и асимметрии с учетом длины выборки и коэффициента асимметрии.
Для этого решались следующие задачи:
■ Выполнить моделирование искусственных гидрологических рядов различной продолжительности с заданным законом распределения и значениями Cs/Cvот 0 до 6; оценить абсолютные и относительные погрешности среднего значения, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии.
■ По результатам моделирования построить зависимости погрешностей выборочных значений параметров распределения от длины выборки, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии.
■ Представить алгоритм для расчета стандартной ошибки коэффициентов вариации и асимметрии.
Для моделирования искусственных гидрологических рядов использовался метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Расчет параметров распределения выполнен методом моментов. В качестве базового распределения использовалось распределение Пирсона III типа.
Работа состоит из 5 глав введения и заключения.
В первой главе представлена методика моделирования искусственных гидрологических рядов методом Монте-Карло. Описан алгоритм моделирования рядов, принадлежащих распределению Пирсона III типа.
Во второй главе исследуются погрешности выборочных средних значений. Производится сравнение погрешностей, полученных по результатам моделирования и рассчитанных по формуле рекомендуемой СП 33-101-2003.
В третьей главе выполнен анализ погрешностей выборочных коэффициентов вариации. Представлен алгоритм расчета абсолютной и относительной ошибок Cvс учетом длины и асимметрии ряда.
В четвертой главе на примере рядов максимальных расходов рек Северо-Запада РФ выполнена оценка погрешностей коэффициентов вариации по предложенной в настоящей работе методике.
В пятой главе выполнено исследование погрешностей коэффициента асимметрии. Представлен вывод формулы для расчета ошибки коэффициенты асимметрии. Дана оценка точности формулы Крицкого-Менкеля для расчета стандартной ошибки коэффициента асимметрии.
Работа содержит 6 таблиц, 28 рисунков, 9 приложений и список литера-туры из 20 наименований. Общий объем работы 72 страниц.
В результате проведенных исследований получены следующие результаты.
• Формула, рекомендуемая СП 33-101-2003 для расчета среднеквадратической погрешности выборочных средних является надежной и может использоваться при любых значениях коэффициента вариации и отношения Cs/Cv. Результаты моделирования подтвердили, что ошибка выборочного среднего не зависит от типа распределения и асимметрии и однозначно определяется коэффициентом вариации и длиной выборки.
• Установлено, что стандартная ошибка выборочных коэффициентов вариации зависит не только от коэффициента вариации и длины выборки, но и от асимметрии ряда.
• На основе результатов статистического моделирования предложена методика расчета стандартной ошибки коэффициента вариации, для широкого диапазона значений n, Cvи Cs/Cv.
• Показано, что формула Блохинова, рекомендуемая в СП 33-101-2003 для рядов с отношением Cs/Cv= 2, может использоваться в диапазоне Cs/Cvот 1 до 3, но при условии Cv< 1.
• Для рядов с асимметрией близкой к нулю приемлемые результаты дает классическая формула SCv= С,/! + 2CJ/V2n.
• При Cs/Cv > 3,5 все рассмотренные формулы дают существенное занижение среднеквадратической ошибки выборочного коэффициента вариации, и для её оценки следует использовать либо таблицы, опубликованные в монографии А.М. Рождественского [12], либо универсальную методику, предложенную в ВКР.
• Для расчета стандартной ошибки коэффициента асимметрии можно рекомендовать формулу: ас = ^6/п + 0,0385С/ + 0,0437CS.
• Формула, рекомендуемая СП 33-101-2003 для расчета среднеквадратической погрешности выборочных средних является надежной и может использоваться при любых значениях коэффициента вариации и отношения Cs/Cv. Результаты моделирования подтвердили, что ошибка выборочного среднего не зависит от типа распределения и асимметрии и однозначно определяется коэффициентом вариации и длиной выборки.
• Установлено, что стандартная ошибка выборочных коэффициентов вариации зависит не только от коэффициента вариации и длины выборки, но и от асимметрии ряда.
• На основе результатов статистического моделирования предложена методика расчета стандартной ошибки коэффициента вариации, для широкого диапазона значений n, Cvи Cs/Cv.
• Показано, что формула Блохинова, рекомендуемая в СП 33-101-2003 для рядов с отношением Cs/Cv= 2, может использоваться в диапазоне Cs/Cvот 1 до 3, но при условии Cv< 1.
• Для рядов с асимметрией близкой к нулю приемлемые результаты дает классическая формула SCv= С,/! + 2CJ/V2n.
• При Cs/Cv > 3,5 все рассмотренные формулы дают существенное занижение среднеквадратической ошибки выборочного коэффициента вариации, и для её оценки следует использовать либо таблицы, опубликованные в монографии А.М. Рождественского [12], либо универсальную методику, предложенную в ВКР.
• Для расчета стандартной ошибки коэффициента асимметрии можно рекомендовать формулу: ас = ^6/п + 0,0385С/ + 0,0437CS.