ВВЕДЕНИЕ 4
1. АППРОКСИМАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ 6
1.1. Асимптотические разложения 6
1.1.1 Асимптотические последовательности 6
1.1.2 Определение Пуанкаре асимптотического разложения 7
1.1.3. Асимптотические степенные ряды 8
1.1.4. Действия над асимптотическими степенными рядами 9
1.1.5 Интегрирование по частям 11
1.1.6 Метод Лапласа 13
1.2 Квадратурная формула Гаусса - Лагерра 14
1.3. Интегральные преобразования 16
1.3.1 Интегральное преобразование Фурье 16
1.3.2. Интегральное преобразование Лапласа 19
1.3.3 Интегральное преобразование Меллина 23
1.3.4 Функция Бесселя и ее интегральные представления 24
2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 28
2.1. Интегральные уравнения типа свертки первого рода 28
2.2. Интегральные уравнение типа свертки второго рода 29
2.3. Уравнение с ядром K(x, t) = t ~XQ(x /1) на полуоси 31
2.4. Уравнение с ядром K(x, t) = t (xt) на полуоси 32
2.5. Метод Карлемана для уравнения Винера-Хопфа второго рода 33
2.6. Прямой квадратурный метод 35
2.7. Итерационный метод 36
3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 39
3.1. Аппроксимация интеграла 39
3.2. Решение интегрального уравнения с помощью квадратурного метода 39
3.3. Решение интегрального уравнения с помощью итерационного метода 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 43
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг решения интеграла на полуоси 45
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Листинг решения интегрального уравнения с помощью квадратурного метода 46
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Листинг решения интегрального уравнения с помощью итерационного метода 49
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Узлы и веса квадратурной формулы Гаусса 54
Одним из важнейших условий прогресса в области решения разнообразных исследовательских, инженерных и проектных задач является исследование и внедрение в практику прикладных разделов современной математики. К этим разделам, в первую очередь, относятся приближенные и численные методы решения интегральных уравнений, применение которых позволяет получить эффективные математические модели многих задач, как традиционных, так и новых. Аппарат интегральных уравнений твердо вошел в физику, материаловедение, механику, астрономию и другие области знаний.
Непрерывное расширение области приложения интегральных уравнений дало стимул к интенсивной разработке их теории и в особенности приближенных методов решения. Появилось множество разработок по исследованию важнейших свойств различных видов интегральных уравнений, а вместе с тем возможностей методов решения.
В определенных областях знаний возникают интегралы, требующие особого внимания, так как их невозможно решить не только аналитически, но и с помощью обычных квадратурных формул, таких как метод трапеций, Симпсона и т.д. Например, в динамической теории кристаллических решеток возникают задачи, которые описываются интегралами вида [1]
Целью работы является изучение математических моделей, которые описаны интегральными уравнениями различного типа с бесконечными пределами интегрирования, рассмотрение методов аппроксимации интегралов на полуоси, а так же методов решения интегральных уравнений типа (2). Необходимо построить эффективные численные алгоритмы решения таких уравнений, разработать программы для реализации методов на ЭВМ и сделать выводы о применимости данных методов.
Целью выпускной квалификационной работы было изучение математических моделей, которые описаны интегральными уравнениями различного типа с бесконечными пределами интегрирования, в том числе рассмотрение реологической модели наследственной ползучести. С этой целью в работе предложены методы аппроксимации несобственных интегралов на полуоси, в том числе применение квадратурной формулы Гаусса - Лагерра. Также полезными являются интегральные преобразования, применяемые как для интегралов, так и для интегральных уравнений. Построены эффективные квадратурные и итерационные методы численного решения интегральных уравнений на полуоси.
На языке программирования C++ реализованы алгоритмы, позволяющие получить численное решение уравнений. Анализируя результаты решения модельных задач, можно сделать вывод о хорошей сходимости квадратурного и итерационного методов. Однако формула Гаусса - Лагерра имеет свои ограничения: для ее применения используются нули многочлена Лагерра и коэффициенты, полученные при максимальной степени N = 24. Далее следует отметить, что главными параметрами, отвечающими за сходимость методов, являются число разбиения области [0,Г] и количество итераций, при увеличении которых погрешность вычисления стремится к нулю. Зависимости погрешности методов от их параметров представлены в таблицах 2-4 в практической части работы.
