ВВЕДЕНИЕ 4
1. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ 6
1.1. Основные понятия и определения термоупругости 6
1.1.1. Разностные уравнения 6
1.1.2. Разностная аппроксимация простейших
дифференциальных операторов 7
1.1.3. Устойчивые и неустойчивые разностные схемы 7
1.1.4. Аппроксимация 8
1.1.5. Устойчивость 8
1.1 .б. Сходимость 9
1.2. Постановка задачи 9
1.3. Разностная схема 11
1.4. Порядок аппроксимации, условия сходимости 14
1.5. Способ реализации 15
2. РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ 17
2.1. Постановка задачи 17
2.3. Решение многомерных уравнений 19
2.3.1. Разностные схемы расщепления 19
2.3.2. Экономичные разностные схемы 23
2.3.3. Схема переменных направлений 28
2.4. Порядок аппроксимации, условия сходимости 30
2.5. Способ реализации 31
3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 35
3.1. Модельная задача 35
3.2. Модельная задача 35
3.3. Анализ полученных результатов 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 39
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 40
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы для решения стационарного уравнения
термоупругости при помощи разностной схемы 41
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Листинг программы для решения нестационарного уравнения термоупругости при помощи разностной схемы 46
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Графические результаты зависимости погрешности от количества итераций для задач термоупругости 51
В настоящее время теория термоупругости достигла значимых успехов в развитии, в связи с серьёзными проблемами, возникающими при разработке конструкций, если элементы работают в нерегулярных и необычных условиях нагрева. При этом изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры с неравномерным тепловым увеличением компонентов.
Стимулом к изучению термической упругости стали проблемы термоупругости конструктивных элементов. Исследования проводились на основе теории, развитой Дюамелем и Нейманом, которые вытекали из следующей гипотезы: Полная деформация - это сумма упругих деформаций, сопровождаемых давлением с физиологическими отношениями и чистым тепловым расширением, где температурное поле известно из классической теории теплопроводности.
Согласно основным положениям теории Дюамеля-Неймана, было показано, что нестационарные механические и тепловые устройства ограничены: они не точно описывают движение тела. Динамические эффекты возникают в конструкциях при определенных нестатистических тепловых условиях.
В целом изменения температуры тела происходят не только в результате поступления тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформации. Когда тело деформируется в результате высокоскоростных механических или тепловых воздействий, так называемый эффект связи вызывается взаимодействием полей деформации и температуры.
Теория термоупругости частно накладывает ограничения на размер термического возмущения: повышение температуры относительно невелико по сравнению с начальной температурой. Это устранение ограничения не нарушает предположение о малой деформации, но приводит к нелинейным выражениям термоупрогости. Развитие общей теории термоупругости возможно без определенных ограничений теории малых деформаций с учетом температурной характеристики упругости и теплоты. Обычно это нелинейная теория комбинированной теормоупругости, которая в особых случаях включает, как линейную теорию термоупругости в сочетании с небольшим тепловым возмущением, так и независимую термоупругость в сочетании с большим тепловым возмущением, использующую уравнения линейного движения и нелинейное уравнение теплопроводности.
При исследовании задач динамической термоупругости с учетом взаимосвязи полей деформации и температуры становится возможным выявлении новых качественных характеристик процесса деформации. Анализ относительно простого решения задачи об одновременном распределении гармонических термоупругих волн в бесконечном теле позволяет точно понять основные свойства термоупругих явлений на основе различных частот волн и параметров связи материалов. Двумерные задачи о распространении упругих тепловых волн по поверхности длинного цилиндра следует упомянуть, как проблемы с основными ограничениями теплоизоляции.
Решение задач термоупругости с телами конечных размеров создает серьезные математические трудности. Поэтому большой интерес представляют колебательные принципы комбинированной термоупругости, особенно принцип биоколебаний, позволяющих разработать приближенные методы решения комбинорованных задач упругой теории динамической теплопроводности.
Всё вышесказанное доказывает важность и ценность проблемы термоупругости и учения ее моделей.
В данной выпускной квалифицированной работе исследуются и реализуются разностные методы решения стационарных и нестационарных уравнений, в частных производных, к которым приводят задачи термоупругости.
В результате выполнения выпускной квалификационной работы были рассмотренных и реализованы разностные схемы, используемые при решении стационарных и нестационарных задач термоупругости. В ходе работы над выпускным квалификационным проектом была исследована основная теория ре¬шения уравнений термоупругости при помощи разностных схем, а именно:
- изучены два типа задач термоупругости - стационарные и нестационарные;
- исследованы разностные схемы решения задач термоупругости;
- найден порядок аппроксимации и сходимости используемых в работе разностных схем;
- определены условия устойчивости разностных схем
- произведено математическое моделирование стационарного и нестационарного процесса термоупругости, то есть: составлены модельные задачи; построены алгоритмы решения задач;
-полученные алгоритмы реализованы на ЭВМ;
-численное решение задач было представлено в табличном и графическом виде;
- произведен анализ полученных результатов.
