Введение 3
Глава 1. Теоретические основы изучения функциональной линии в школьном курсе математики 5
1.1 Цели и место изучения функциональной линии 5
1.2 Функции и их свойства 6
1.3 Анализ школьной программы 7
1.4 Анализ учебников по алгебре 8
1.5 Анализ линий изучения уравнений в школьном курсе математики 11
1.6 Анализ линий изучения неравенств в школьном курсе математики 29
Глава 2. Исследование функционального метода решения уравнений и неравенств 36
2.1 Применение функционального метода решения уравнений и неравенств
36
2.2 Разработка элективного курса «Решение уравнений и неравенств с
использованием свойств функций» 63
Заключение 73
Список литературы 74
Приложение №1 75
Существуют уравнения (неравенства) стандартного вида (линейные, квадратные, иррациональные, логарифмические и т. д.) и стандартные методы их решения. Однако не всякое уравнение или неравенство можно решить с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений (неравенств). Встречаются такие уравнения (неравенства), которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать их нестандартные методы решения, которые порой существенно упрощают и сокращают решение. Остановимся на применении одного из таких методов - использования свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств, т.е. функциональный подход.
Функция - одно из важнейших понятий математики. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.
Уравнения и неравенства имеют очень большую роль в математике, потому что любая задача сводится к построению математической модели как в виде уравнения либо неравенства, поэтому спектр применения этих понятий очень велик.
Актуальность работы: обусловлена появлением возможности более рационального решения уравнений и неравенств с помощью функционального подхода.
Объект исследования: методы решения уравнений и неравенств.
Предмет исследования: функциональный подход к решению уравнений и неравенств.
Практическая значимость: разработка элективного курса «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».
Цель: изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.
Задачи:
1) проанализировать материал по теме исследования;
2) описать сущность функционального метода;
3) решить уравнения и неравенства, используя свойства функции;
Гипотеза исследования: использование функционального метода позволяет прийти к рациональному и наиболее быстрому способу решения уравнений и неравенств.
Функциональный метод решения уравнений, неравенств и их систем позволяет сделать более осмысленным их изучение. Свойства функции необходимо широко использовать при изучении уравнений и неравенств. От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает умение схематизировать; развивает интуицию, логику мышления; прививает навыки дедуктивного мышления; развивает творческие исследовательские способности. Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. Во временных рамках уроков полностью материал, связанный с решением уравнений и неравенств функциональным методом рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору.
В результате исследования были решены следующие задачи:
1. Выполнен сравнительно-сопоставительный анализ программы и основных учебников, предусмотренные Федеральным перечнем учебников по математике для 5-11 классов, с точки зрения применения свойств функций при решении уравнений и неравенств.
2. Описан функциональный метод, его компоненты.
3. Решены уравнения, неравенства и их системы.
Гипотеза, выдвинутая в начале исследования о том, что умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся выбирать наиболее рациональный способ решения получила положительные подтверждения. Опираясь на полученные положительные результаты, можно сделать вывод, что цель работы была достигнута.
