Введение 3
Глава I. Теоретические аспекты изучения функциональных уравнений 5
§1. Понятие функционального уравнения 5
§2. Способы решения функциональных уравнений
2.1 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с
помощью замены переменной и функции 8
2.2 Решение функциональных уравнений методом подстановки 9
2.3 Решение функциональных уравнений методом Коши 11
2.4 Использование значений функции в некоторых точках 12
2.5 Решение функциональных уравнений с применением теории групп 13
§3. Функциональные уравнения в школьном курсе математике 15
§4. Функциональные уравнения в олимпиадных задачах 18
Глава II. Разработка элективного курса «Функциональные уравнения» 22
§1. Место и роль элективных курсов в системе школьного обучения 22
§2. Тематическое планирование элективного курса 26
§3. Разработка конспектов занятий в рамках элективного курса 32
Заключение 45
Список использованных источников 47
Функциональные уравнения исследуются математиками с достаточно давних времён, но в рамках школьного обучения, к сожалению, этот курс обходят стороной. Решение функциональных уравнений - процесс, требующий глубочайшего понимания самого предмета и способный развить необходимый навык самостоятельной работы.
На данный момент в олимпиады разных уровней стали включать функциональные уравнения и неравенства, а высшие учебные заведения продвигают идею о включении таких уравнений и неравенств в рамки вступительных экзаменов на факультеты различной направленности. Эти факты кратно повышают уровень заинтересованности учащихся к теме функциональных уравнений.
Помимо этого, актуальность темы обусловлена реалиями современного общества - прогресс в области науки и технологий является основополагающим для развития этого общества, а математика - мощнейший инструмент для анализа и понимания сложных явлений. Рассматривая функциональные уравнения через эту призму, можем утверждать, что математические концепции функциональных уравнений увеличивают потенциал исследований разных процессов в науке и технике и представляют нам инструменты для их моделирования и анализа.
Основной проблемой, рассматриваемой в исследовании, является то, что на данный момент практически нет программ элективных курсов на тему «Функциональные уравнения», которые смогли бы познакомить учеников как с самими функциональными уравнениями, так и с известными способами их решения.
Цель исследования- на основе анализа литературы разработать элективный курс «Функциональные уравнения» для школьников...
Функциональные уравнения все чаще стали включать в содержание олимпиад по математике разного уровня. Поэтому возникает необходимость в изучении методов решения таких уравнений. В школьном курсе математики их практически не затрагивают и не используют термин «функциональные уравнения». Элективный курс «Функциональные уравнения» поможет закрыть этот пробел.
Обучение в рамках курса позволит ученикам углубить свои знания в этой области, развить аналитические способности и научиться применять полученные знания на практике.
В работе мною были получены следующие ключевые результаты.
1. На основе изучения и анализа учебно-методических материалов раскрыто понятие функционального уравнения.
2. В ходе исследования изучены и приведены основные методы решения функциональных уравнений, а именно: метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции, метод подстановки, использование значений функции в некоторых точках, метод Коши.
3. Проанализирован уровень изучения функциональных уравнений в рамках школьного курса математики, а также выявлена важность умения решать такие уравнения в рамках олимпиадных задач.
4. Обоснована актуальность внедрения элективного курса на тему «Функциональные уравнения» в систему школьного курса математики.
5. Разработана программа элективного курса на тему «Функциональные уравнения».
6. Приведены примерные конспекты занятий элективного курса.
На основе результатов проведённого мною исследования и разработки можно сделать вывод о том, что все поставленные задачи были успешно выполнены и достигнута главная цель работы: изучить функциональные уравнения и методы их решения и составить тематическое планирование элективного курса на тему «Функциональные уравнение» с перспективой на дальнейшую реализацию.
