Тема: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

С древнейших времён и по сей день математика занимается активным поиском и усовершенствованием лучших решений сложнейших задач человечества. В XVII веке появилась необходимость теоретического обоснования поведения функций в достаточно малой окрестности каждой точки. Разработкой данной теории изначально занялись такие известные всему миру умы человечества, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, затем в работу подключились учёные Рене Декарт и Пьер Ферма. Основываясь на предшествующих наработках древнегреческих математиков Евдокса Киндского и Архимеда, они создали теорию дифференциального исчисления.
Своё практическое применение теория дифференциального исчисления нашла в задачах математической физики при моделировании физических явлений в XVII веке. Такие великие математики, как Л. Эйлер, Ж. Лагранж, Ж. Даламбер, К. Гаусс заложили основы аналитической механики. Основное направление их деятельности - исследование колебаний. В XIX веке внимание учёные трудились над изучением задач теплопроводности, упругости, диффузии, электродинамики.
В данной работе рассмотрим методы решения однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающего во многих физических задачах теплопроводности и электростатики - уравнения Лапласа и эллиптического дифференциального уравнения в частных производных, которое описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры и поле давления - уравнения Пуассона
В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число, при решении дифференциальных уравнений ищется функция. В задачах математики часто возникают задачи, в которых зависимость одного параметра от другого неизвестна, но возможно записать выражение для быстроты изменения этого параметра относительно другого. В этом случае задача сводится к нахождению неизвестной функции по её производной, связанной с некоторыми другими выражениями.
В данной работе будем рассматривать методы решения внутренней задачи Дирихле, то есть по известным функциям на границах области будем искать значения неизвестной функции во внутренних точках области. Для решения данной задачи будем использовать как разностные методы Гаусса - Зейделя и матричной прогонки, так и метод сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному.
Таким образом целью данной работы является изучение методов решения стационарных дифференциальных уравнений в частных производных разностными методами и методом сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному уравнению.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи: произвести обзор литературы; описать основные понятия, используемые в работе; исследовать разностные схемы используемые для аппроксимации дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона; рассмотреть разностные производные; рассмотреть процесс перехода от дифференциального уравнения к разностному; рассмотреть методы решения разностных схем; рассмотреть процесс сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному; составить модельные задачи; построить алгоритмы решения задач перечисленными методами и реализовать его на ЭВМ; проанализировать полученные результаты.

Купить

В работе были исследованы и применены на практике численные методы решения задачи Дирихле для стационарных уравнений в частных производных, а именно для уравнений Лапласа и Пуассона.
Достигнуты следующие результаты:
- изучены основные понятия теории разностных схем, методы их составления и применения;
- рассмотрены различные разностные производные и процесс перехода от дифференциального уравнения к разностному;
- исследованы разностные схемы для аппроксимации дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона;
- исследованы методы реализации разностных схем для решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона, а именно методы Гаусса - Зейделя и матричной прогонки;
- изучен способ сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному уравнению;
- построена разностная схема для уравнения Лапласа;
- построена разностная схема для уравнения Пуассона;
- уравнение Лапласа сведено к граничному интегральному уравнению;
- построен алгоритм решения разностной задачи по методу Гаусса - Зейделя для уравнения Лапласа и реализован на языке Java;
- построен алгоритм решения разностной задачи по методу матричной прогонки для уравнения Пуассона и реализован на языке Java;
- проведено сведение уравнения Лапласа к граничному интегральному уравнению, к которому был применён метод коллокации, алгоритм реализован на языке Java;
- при помощи реализованных алгоритмов решены модельные задачи и получены результаты.
При реализации модельных задач можно отметить следующие выводы:
- реализация метода Гаусса - Зейделя проще чем реализация метода матричной прогонки;
- метод матричной прогонки даёт значительно более точные результаты чем метод Гаусса - Зейделя;
- численная реализация решения дифференциального уравнения с помощью сведения его к граничному интегральному оказалась более сложной чем реализация разностных методов;
- результаты, полученные по методу сведения дифференциального уравнения к интегральному оказались менее точными, чем по методу матричной прогонки.

Купить