ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ВВЕДЕНИЕ 3
1. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 5
1.1. Основные понятия 5
1.2. Разностные уравнения 6
1.3. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных
операторов 8
1.4. Постановка разностных задач 15
1.5. Метод Гаусса - Зейделя 17
1.6. Метод матричной прогонки 20
2. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СВЕДЕНИЯ К
ГРАНИЧНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 24
3. РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 29
3.1. Реализация разностной схемы для уравнения Лапласа в
прямоугольной области методом Гаусса - Зейделя 29
3.2. Реализация разностной схемы для уравнения Пуассона в
прямоугольной области методом матричной прогонки 32
3.3. Метод граничных интегральных уравнений 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 42
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы для приближенного решения дифференциального уравнения. Метод Гаусса - Зейделя 43
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Листинг программы для приближенного решения дифференциального уравнения. Метод матричной прогонки 47
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Листинг программы для приближенного решения дифференциального уравнения методом сведения к граничному интегральному уравнению

Купить

С древнейших времён и по сей день математика занимается активным поиском и усовершенствованием лучших решений сложнейших задач человечества. В XVII веке появилась необходимость теоретического обоснования поведения функций в достаточно малой окрестности каждой точки. Разработкой данной теории изначально занялись такие известные всему миру умы человечества, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, затем в работу подключились учёные Рене Декарт и Пьер Ферма. Основываясь на предшествующих наработках древнегреческих математиков Евдокса Киндского и Архимеда, они создали теорию дифференциального исчисления.
Своё практическое применение теория дифференциального исчисления нашла в задачах математической физики при моделировании физических явлений в XVII веке. Такие великие математики, как Л. Эйлер, Ж. Лагранж, Ж. Даламбер, К. Гаусс заложили основы аналитической механики. Основное направление их деятельности - исследование колебаний. В XIX веке внимание учёные трудились над изучением задач теплопроводности, упругости, диффузии, электродинамики.
В данной работе рассмотрим методы решения однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающего во многих физических задачах теплопроводности и электростатики - уравнения Лапласа и эллиптического дифференциального уравнения в частных производных, которое описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры и поле давления - уравнения Пуассона
В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число, при решении дифференциальных уравнений ищется функция. В задачах математики часто возникают задачи, в которых зависимость одного параметра от другого неизвестна, но возможно записать выражение для быстроты изменения этого параметра относительно другого. В этом случае задача сводится к нахождению неизвестной функции по её производной, связанной с некоторыми другими выражениями.
В данной работе будем рассматривать методы решения внутренней задачи Дирихле, то есть по известным функциям на границах области будем искать значения неизвестной функции во внутренних точках области. Для решения данной задачи будем использовать как разностные методы Гаусса - Зейделя и матричной прогонки, так и метод сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному.
Таким образом целью данной работы является изучение методов решения стационарных дифференциальных уравнений в частных производных разностными методами и методом сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному уравнению.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи: произвести обзор литературы; описать основные понятия, используемые в работе; исследовать разностные схемы используемые для аппроксимации дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона; рассмотреть разностные производные; рассмотреть процесс перехода от дифференциального уравнения к разностному; рассмотреть методы решения разностных схем; рассмотреть процесс сведения дифференциального уравнения к граничному интегральному; составить модельные задачи; построить алгоритмы решения задач перечисленными методами и реализовать его на ЭВМ; проанализировать полученные результаты.

Купить