ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 5
1.1. Основные методы решения уравнений в целых числах 5
1.2. Уравнения в целых числах в школьном курсе по математике 16
1.3. Уравнения в целых числах в олимпиадных задачах 27
ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ» 30
2.1. Место и роль элективных курсов в системе школьного обучения
математике 30
2.2. Тематическое планирование элективного курса 34
2.3. Разработка конспектов занятий «Уравнения в целых числах» 37
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 54
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 55
Решение алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, содержащих более одной неизвестной, являются одной из самых сложных и старейших задач в математике. Великие математики древности, такие как Пифагор, Диофант, П.Ферма, Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, П.Дирихле, К.Гаусс, П.Чебышев и многие другие, занимались этими задачами.
Решение уравнений в целых числах занимает ключевое место и в современной математической науке. Уравнения в целых числах привлекают внимание ученых благодаря их тесным связям с разнообразными аспектами теории чисел. Ещё в начальной школе на уроках математики учащиеся сталкиваются с задачами, в которых необходимо определить значения переменных, при которых обе части равенства становятся равными. В таких случаях рассматривают равенства как уравнения, где переменная является неизвестной. В старших классах изучают методы решения квадратных уравнений с одной переменной. Однако, готовясь к математическим олимпиадам и анализируя задания единого государственного экзамена, ребята сталкиваются с уравнениями, включающими две переменные. Однако не каждый учитель математики обладает навыками по решению уравнений в целых числах из-за недостаточного освещения данной темы в учебных пособиях для школьников. Возникает противоречие между потребностями учащихся в изучении данного курса и неспособностью образовательных учреждений выполнить эти запросы.
Проблемой исследования является создание возможности для образовательных учреждений внедрить в свою программу элективный курс по решению уравнений в целых числах, в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего общего образования.
Цель исследования: разработка элективного курса по решению уравнений в целых числах для учащихся 10-11 классов.
Объект исследования: изучение теории диофантовых уравнений в средней школе в рамках элективного курса по математике.
Предмет исследования: создание элективного курса по решению уравнений в целых числах.
Для достижения поставленной цели были выделены следующие задачи исследования:
• провести анализ и изучить материал по решению уравнений в целых числах;
• исследовать школьную математическую программу с целью выявления наличия элементов теории диофантовых уравнений в ней;
• отобрать материалы для элективного курса и систематизировать их;
• определить методические особенности разработки элективного курса по уравнениям в целых числах;
• разработать рабочую программу элективного курса по
уравнениям в целых числах для старших классов;
• составить технологические карты для проведения занятия в рамках разработанного элективного курса.
Практическая значимость данной работы заключается в том, что её результаты могут быть применены в учебных учреждениях для обеспечения индивидуальных запросов учащихся в улучшении их математических навыков.
Содержание выпускной квалификационной работы: введение, две главы, заключение, список использованных источников.
В данной выпускной квалификационной работе были рассмотрены диофантовые уравнения и методы их решения. На основе теоретического материала был разработан элективный курс «Уравнения в целых числах».
В первой главе представлены теоретические основы рассматриваемой темы. В частности, перечислены основные методы решения уравнений в целых числах с примерами решения, произведен анализ содержания уравнений в целых числах в учебниках по алгебре различных авторов, а также рассмотрены олимпиадные задачи, содержащие уравнения в целых числах.
Вторая глава посвящена разработке элективного курса для учащихся 10-11 классов. Для достижения этой цели было составлено тематического планирование элективного курса и разработаны конспекты двух занятий, которые позволяют учащимся лучше понять суть материала.
Тема решение уравнений в целых числах включена в единый государственный экзамен, поэтому элективный курс, предназначенный для более тщательного освоения этой темы, может быть полезным дополнением к подготовке итоговой проверки знаний.
Заявленная цель выпускной квалификационной работы достигнута. Таким образом, мы подтверждаем практическую значимость, которая состоит в том, что результаты могут быть применены в образовательных организациях, для обеспечения индивидуальных запросов обучающихся в улучшении их математической подготовки.
